来看一道超有难度的中考几何压轴题！据说超过90%的学生都被难住，直呼找不到突破口

2025-05-21 10:52:20 大力小学数学吖生活

来看一道超有难度的中考几何压轴题！据说超过90%的学生都被难住，直呼找不到突破口呢。题目是这样的：图中有两个圆，半径分别为1和3 ，还有一条直线与它们相切，要求阴影部分的面积。这阴影部分看起来不规则，确实有点让人头疼。其实解题关键在于转化思想。我们可以尝试连接两圆的圆心，再分别向切线作垂线，这样就能构造出规则图形。把阴影部分的面积转化成一个梯形的面积减去两个扇形的面积。大家不妨动手算一算，看看能不能成功攻克这道难题~ 把你的答案和解题思路留在评论区，一起交流讨论呀！初三几何压轴题

阅读：7076 点赞：1

评论列表

用户12xxx54 32

2025-06-15 22:08

连接圆心，成梯形，过小圆心做梯形的高，通过勾股定理算出梯形的高，通过正弦2/4算出两个扇形的角度，梯形面积减去两个扇形的面积

阳阳AAA 回复 06-17 16:28
多学习

用户12xxx54 回复 06-18 08:10
两圆连心线必过切点。证明的话也简单，圆的半径连切切点必垂直于该切线，两圆相切，做公切线，就有公切线跟公切点，两圆半径连切公切点都垂直该公切线

用户10xxx80 31

2025-05-22 08:45

有多难，相切圆，连接圆心，双圆心切点共线，所以双圆心距离为4，小圆心垂直大圆心到切线的线段，该线段上部分=3-1=2，直角三角形2：4特俗比例，所以大圆扇形角度60，小圆扇形角度120

用户11xxx22 回复 06-15 12:28
这个是最简明的方法

用户12xxx36 回复 06-16 07:10
牛，

用户59xxx29 20

2025-06-15 23:54

不是2个正方形面积减去2个圆的面积的四分之一么？

遮天蔽日 回复 06-16 23:16
我错了，这样挨着的大小不一样的圆没办法做两个正方形。

遮天蔽日 回复 06-16 23:17
你是对的。

汪洋 19

2025-06-03 16:33

梯形面积减去2个4/1的圆面积。梯形高为2圆半径之和等于4，面积公式：（上底+下底）x高/2，及（1+3）x4/2=8.两圆的1/4面积和为1/4π（r1+r2）=π 阴影面积为8-3.14=4.86

用户10xxx98 回复 06-15 20:19
错

高绍亭 回复 06-16 08:38
真服了，这也能上神评。

用户11xxx22 18

2025-05-21 18:10

用户11xxx22 回复 06-16 10:26
这只是一种解题思路

用户49xxx38 回复 06-16 08:22
梯形的高需要这样求吗？严重复杂化计算，直接4²-2²开根号就算出来了

小萝卜头 17

2025-05-21 12:24

四倍根号三减六分之十一π

用户10xxx95 17

2025-06-16 20:23

So easy.连接圆心，过小圆心作切线平行线，得一个30度直角三角形，大圆弧60度小圆弧120度，大圆面积的六分之一1.5兀，加小圆面积三分之一共六分之十一兀，用梯形面积4倍根号三减六分之十一兀就是答案。口算都可以做出来了。

琴心斋主 回复 07-08 12:16
[握手]

六千万粉丝 9

2025-06-16 23:20

2个圆心一连，就是梯形，小圆心向梯形另一条底边画高线，就出了直角三角形，一条2，一条4，另一条就出来了，哪么知三条边就可以求角。。。。

昵称隐藏（心悦4最新功能） 8

2025-06-16 22:26

连圆心，做梯形，用共线三等角做出梯形高。再求出两扇角度。梯形减两扇🉐阴影。

武寒旭 8

2025-05-21 18:10

连接圆心，连线长斜边4，直角边2，30度角。上学的时候，想到这就不做了，剩下的没必要浪费时间。

叶尘回复 06-16 01:10
…[呲牙笑]一看就不是学霸那种。平时做练习题，这种题目，只要思路出来了，剩下的计算过程而已，太简单，没必要浪费时间去写，写过程的时间能做好几道题不止了…初中而已，能有多复杂的计算，根本没必要去写计算过程了[抠鼻]我记得初中那会儿，老师给推荐买习题册，厚厚一本，基本上几天就全部刷完了，都是这样，一个题目，把关键点搞定，剩下就直接过了。比如这种题，把辅助线一作，剩下可以直接略，初中题基本上都是这种的，几何图形的，纯计算的很少，所以一本习题册，刷起来很快的，几天一本就没了[呲牙笑]。

岛主回复 06-16 20:19
看来你不是学霸，[得瑟]整个评论区其他的我没看，就这条的方法是最简单的，跟我想的一样[呲牙笑]

柠檬 8

2025-06-16 12:31

(6*6-3.14*3*3+2*2-3.14*1*1)*1/4

再梦周公 8

2025-06-16 18:04

三角形边长是2、2√3、4，角度是特殊的30、60、90，面积很容易

赵海斌 7

2025-06-16 07:18

两扇形，小的120度，大的60度，梯形面积4x2根号3÷2

闾左之流 7

2025-06-16 15:09

都告诉你了，利用平行线分线段公式，直接算，底1比3，边1:2，○心夹角60°高就是2倍根3。（1+3）根3-9π/6-π/6=4倍根3-5π/3

昆仑山 7

2025-06-16 02:35

梯形高＝根号下 12，于是乎，阴性部分面积出来了！

昆仑山 回复 06-16 11:50
这是基本操作，大叔我还没有忘记。

tiger 6

2025-06-01 09:59

要不是小学没学过无理数，这就是小学题，30°的特殊直角三角形小学能判断出来，就是不会求长的直角边

黑翼天使 5

2025-05-21 12:16

画大小两个正方形，正方形面积减掉圆，除以4，不就行了。

千⛄里⛄雪 回复 05-21 12:22
你这，初中题，小学文化，就别显眼了

一路风尘 回复 05-22 17:12
真把你难住了

汪洋 4

2025-06-03 16:34

8-3.14=4.86

§旷野飘零§ 回复 06-15 10:52
8哪来的，梯形高是2√3，还有3.14哪来的，大扇形1/6，小扇形1/3，两个扇形11/6π。

芝麻开门了 4

2025-06-14 10:30

这种题很烦，大圆的半经3没有小圆的直径2高

叶尘回复 06-16 01:15
烦啥，真压轴出这样的题，真是送分的[呲牙笑]

冷夜 4

2025-06-16 08:30

这要是压轴题能难住谁啊，学渣怕是都能算出来

老徐 3

2025-05-29 19:01

连接两个圆心成梯形，高用勾股定理算得求出梯形面积，减去两个扇形面积。

多情贱客无情贱 3

2025-05-22 15:13

送分题，就这？

西安诺瓦克 3

2025-06-13 22:41

很简单

三人成众v 3

2025-06-15 13:40

作另桨切线，难题迎刃而解！

phil 3

2025-06-15 21:44

圆心角60°，搞掂

一路风尘 2

2025-05-22 17:11

果然是初中的内容，让发文的作者头疼了

叶尘回复 06-16 01:14
[抠鼻]这么简单的题还压轴…解题思路用不了一分钟…剩下就是计算过程了。这种送分题[呲牙笑]

成为有关 2

2025-05-23 17:53

毕业以后用上这样的解题过程的来举一下手

曹操 2

2025-05-30 07:12

口算题

良宸美景 2

2025-06-14 15:46

两圆心到切点共线？

§旷野飘零§ 回复 06-15 10:53
定理啊，你不会还要证明吧，两圆相切，两圆圆心和切点，三点共线，这是定理，可以直接用。

sea 回复 06-16 10:23
你高兴用去推一下也可以的

winers 2

2025-06-15 18:04

解: 设大圆心作B,小圆心作C,大圆半径与底的交线作D,小圆半径与底的交线作E，BCED为一个梯形。两个圆心BC做辅助线:长度是3+1=4. 小圆心C垂直大圆半径线做垂线。垂线交点为A,AC长度作x，则由勾股定理得出，AC的长度x为:x平方=4平方-2平方。 x=根号12 另由三角形的三个已知边长求得BA，BC角度是60°，CA,CB角度是30°。则梯形内大圆空白面积是:π3平方＊60°/360°1=9π/6. 梯形内小圆的面积是:π1平方＊120°/360°=3/π。梯形面积:（3+1）/2*根号12=2*根号12. 则:2*根号12-9π/6-π/3约等于6.92-4.71-1.04=1.17（阴影面积）很多字不会怎么打，望理解。全部是初中知识。