全导数的定义：

切向量场中的切向量：

切向量场和全导数在形式上有相似之处，但它们的概念和本质存在明显差异，下面从联系和区别两方面来理解：

联系都与函数变化相关：切向量场在微分流形上，刻画了函数沿着流形上曲线的变化趋势；全导数描述的是多元函数因自变量的变化（这些自变量可能通过某种关系相互关联）而产生的总的变化率。例如在二维平面上考虑一个标量函数，切向量场可以表示沿着平面内不同曲线方向函数的变化方向和程度，全导数则可以表示当自变量沿着某条特定路径变化时函数的总体变化率，二者都围绕函数的变化情况展开。都基于微积分概念：切向量场的定义和运算依赖于微分流形上的微积分理论，全导数是多元微积分中的重要概念，它们都运用到极限、微分等基本的微积分工具和思想 。在计算切向量场对函数的作用以及全导数的值时，都需要用到求导等微积分运算方法。区别定义背景不同：切向量场是定义在微分流形上的概念，微分流形是一种具有局部欧氏结构且满足一定光滑条件的拓扑空间，切向量场在每一点指定一个切向量，反映流形上的局部几何和分析性质；对于一个给定的流形，理论上可以定义无数个不同的切向量场。例如在二维欧几里得平面这个简单的流形上，我们可以定义一个常向量场，即每一点的切向量都指向同一个方向且长度相同；也可以定义一个以原点为中心的径向向量场，每一点的切向量都从该点指向原点或背离原点。不同的切向量场在流形的同一点会指定不同的切向量。比如在上述二维平面的例子中，常向量场在某一点指定的切向量是固定方向和长度的，而径向向量场在同一点指定的切向量方向则是指向或背离原点，与常向量场的切向量不同。所以从这个角度看，流形上的每一点可以由多个切向量场指定多个不同的切向量。全导数主要是在多元函数的背景下定义，关注的是多个自变量按照一定关系变化时，函数的总体变化情况，其自变量通常来自于欧氏空间 。比如在研究地球表面（看作微分流形）的物理量分布变化时会用到切向量场，而研究一般多元函数如z = f(x,y)为欧氏空间中的变量z随x,y按某种关系变化时用全导数。作用对象和意义不同：切向量场作用于流形上的函数，用于描述函数沿着流形上不同方向的变化情况，还能体现流形的几何结构特征；全导数主要作用于多元函数，衡量的是函数因自变量变化而产生的总的变化速率 。例如在曲面上研究温度分布函数，切向量场可以表示温度在不同方向的变化趋势；而对于一个由多个变量决定的物理量函数，全导数表示这些变量同时变化时该物理量的总体变化快慢。表现形式和性质不同：虽然形式上有相似，但切向量场是流形上的一种向量分布，具有向量的性质，如可以进行线性组合等操作，且在不同的坐标卡下有相应的变换规则；全导数是一个数值（函数），表示函数变化率，其计算和性质遵循多元函数求导的相关法则 。