x¹⁰⁰ + y¹⁰⁰ = 1 是什么样子？x²⁰²⁵ + y²⁰²⁵ = 1 又是什么样子？它的一般形式又是什么样子？为了回答这些问题，我们将从基础开始，逐步深入！
您可以随意在每个部分停下来并仔细思考这一探索。
单位圆我们的旅程从高中代数开始。事实上，我们将复习单位圆的概念。
以下是单位圆的方程
它以笛卡尔平面的原点为中心，半径为 1。
对于更一般的方程，我们有
那么 x⁴ + y⁴ = 1 怎么样？现在我们对单位圆方程有了基本的了解，我们可以用这些信息绘制曲线 x⁴ + y⁴ = 1 吗？当幂变为更大的偶数时会发生什么？
绘制不熟悉的函数的一个重要技能是考虑两个轴上的截距。
代入 x = 0 可得到 x = 1 和 x = -1 处的 y 截距。同样，代入 y = 0 可得到 y = 1 和 y = -1 处的 x 截距。
观察我们的单位圆，我们知道新曲线在两个轴处与单位圆相交。
通过将方程重新排列为以 y 为主的形式，我们可以发掘出有关方程的另一条重要信息。
在这种情况下，我们有
单位圆的方程为
对于-1 ≤ x ≤ 1，我们有初始不等式
并按如下方式进行
关于这两个不等式，我们能说些什么呢？事实上，这表明单位圆由方程 x⁴ + y⁴ = 1 界定！
单位圆由我们的新方程界定
尝试使用不同的偶数整数幂并观察图形的行为。
当幂为 100 甚至 1000 时会发生什么？随着幂增加到更高的偶数，曲线看起来似乎变成了正方形。有趣的是，如果你真的放大图形并查看角落，你会注意到它实际上是圆形的，而且角落很光滑。无论幂有多大，图形都不会变成正方形。
这是为什么？
在回答为什么之前，我们先绕个弯子，想想如果 x 和 y 的幂趋向无穷大会发生什么。它最终会变成一个平方吗？
剧透：不！
如果我们固定 x = 1，则有
让我们一起思考一下。如果 y 介于 -1 和 1 之间，那么当 a 的幂趋向无穷大时，y^a 趋近于零！
这告诉我们，在值 x = 1、x = -1、y = 1、y = -1 时，我们可以得到 (1, ±0.999999)、(-1, ±0.999999)、(±0.999999, 1)、(±0.999999, -1)!
图表上发生了什么？
这是我们的正方形图形的一个角。随着幂趋向无穷大，蓝色区域将不断缩小，但曲线永远不会有 (1,1) 这个点。
对于我们图表的其他角也可以得出同样的结论！
现在让我们看看为什么它从来没有完全变成正方形。
揭开谜团
一般而言，上述整数 k 方程在每个点上都是可微的。在实分析中，我们的方程被称为光滑方程。
我们知道正方形有四个尖角，类似于绝对值函数f(x) = |x|，在点x = 0处不可微。
绝对值函数
直观地看，我们无法像在曲线上的任意点那样在拐角处画切线。由于不可微曲线只能使用模数符号等特殊数学运算符来生成，因此仅由多项式组成的方程没有尖角，因此不能是平方数。
x¹⁰⁰+y¹⁰⁰ = 1
等等，还有更多
那么 x³ + y³ = 1 怎么样？
到目前为止讨论的方程都是由偶数幂组成。
x³ + y³ = 1 和 x² + y² = 1 都不是函数，因为对于 x 的每个值，都有多个对应的 y 值。
但是，我们可以将 x³ + y³ = 1 重新排列为以下函数，只考虑正立方根
通过计算两个轴上的截距，我们发现曲线与点 (0,1) 和 (1,0) 相交。
如果我们考虑区间 0≤x≤1，该函数将给出第一象限中类似圆的形状。
为了绘制曲线的其他部分，让我们考虑当 x 趋近于 ±无穷大时会发生什么。我们可以直观地看到，随着 x 的值越来越大，1 的影响变得可以忽略不计，我们的方程式大约为
令人惊讶的是，我们已经深入研究了斜渐近线的概念！无论 x 值为正还是负，该函数都会趋近于直线 y = -x！
看起来像一条蟒蛇？？小王子？？
紫色是我们的函数；红色是 y = -x
这里有一个 Desmos 滑块，您可以尝试不同的力量。进一步的扩展是思考负力量会发生什么？
