函数y=(54x+26)^3*sin4x的86阶导数计算

主要内容：

本文主要利用微积分牛顿-莱布尼茨公式：(uv)^(n)=Σ(k=0,n)C(n,k)*u^(n-k)*v^(k)，介绍函数y=(54x+26)^3*sin4x的86阶导数计算的主要过程。

主要步骤：

对于函数y=(54x+26)^3*sin4x，是由函数y1=(54x+26)^3和函数y2=sin4x乘积而成。

(1)对于函数y1有：

y1'=3(54x+26)^2，y1''=324(54x+26)^1，y1'''=6*54^2,

y1^(4)=0，n≥0。

(2)对于函数y2有：

y2'=cos4x*4=4*sin(4x+1*π/2);

y2''=-sin4x*4^2=4^2*sin(4x+2*π/2);

y2'''=-cos4x*4^3=4^3*sin(4x+3*π/2);

所以有：y2^(n)= 4^n*sin(4x+n*π/2)。

(3)应用牛顿-莱布尼茨公式

y=(54x+26)^3*sin4x，

则y^(n)=Σ(k=0, 86)C(86,k)*y1^(k)*y2^(86-k)

=C(86,0)*y1*y2^(86)+C(86,1)*y1'*y2^(86-1)+C(86,2)*y1''*y2^(86-2)+C(86,3)*y1'''*y2^(86-3)

=y1*y2^(86)+86y1'*y2^85+86(86-1)/2*y1''*y2^84+86(86-1)(86-2)/6*y1'''*y2^1

=(54x+26)^3*4^86*sin(4x+86*π/2)+86*3*(54x+26)^2*4^85*sin(4x+85*π/2)+

3655*324(54x+26)^1*4^84*sin(4x+84*π/2)+ 102340*6*4^83*sin(4x+83*π/2)

=(54x+26)^3*4^86*sin(4x+86*π/2)+ 86*3*(54x+26)^2*4^85*sin(4x+85*π/2)

+3655*324(54x+26)^1*4^84*sin(4x+84*π/2)+ 102340*6*54^2*4^83*sin(4x+83*π/2)