今天我们推荐一部纪录片

第一季评分9.8。

第二季评分还未出。

都是10集，每集10分钟左右——

是大学生们的“必看作业”；是中学生的数学拓展；也是普通人了解高等数学的窗口。

来自法国——数学牛国的纪录短片。

看完第一季，就很满足：

趣味数学知识；趣味动画+讲解；

连我家小学生都爱了——

尽管它讲的是高等数学～懂不懂的不重要，画面已足够好。

历时两年，第二季上线——

还是那个味儿！

熟悉的配方，不同的概念。

第一季我写过介绍，下面介绍第二季的主要内容。

（第一季的推文链接）

想来点高等数学，这个评分9.8的法国纪录片，可用来入门

第一集：概率

主要讲了条件概率，也就是贝叶斯公式。

贝叶斯条件概率应该是概率论中很难的一趴了，所以这里没有演示公式是怎么来的（十分钟也讲不清楚）。

只告诉我们该怎样使用公式：

在一件事发生的概率会因为另一件事而变化时——有条件的，条件概率可以用。还可以用来计算逆概率，当你知道了结果，能推算出条件事件发生的概率。要计算，我们需要哪些初始条件。

除了这些，还有生动的例子，通过例子演示概率反直觉的一面。

其实我们不擅长使用概率和思考概率，可若是你用心去琢磨，会发现：

一切都是条件概率，概率强烈依赖于我们收集的信息。用概率去指导生活，你的生活定会上一个大台阶。

第二集，统计学

统计总是跟概率一起出现的，只是统计学要更难一些。

概率是看到事件，找已知的模型（幂律定律、正态分布、条件概率等）来分析。

而统计学是统计数据，然后再去找模型分析——

这个模型你不一定能找到；

有时候自以为找到了也不一定能分析对。

所以，在数据分析上是相当棘手啊！

就比如这集讲到的辛普森悖论。

在分组数据中，你观察到了一些规律和关联，继而出一些结论，然而把数据合并，这些规律又不存在了。

怎么办？

根据数据收集方式，根据实际情况再调整——还能怎样！（调整方法视频有提及，感兴趣自己可以拓展更多学习）

麻烦和烧脑是必须的。

这就是统计学，它依靠的不只是数学，还有背后的真实世界。

第三集，非欧几何

我们在初中学习的叫欧氏几何。

欧氏几何有5个公设，其中第五条，用现代语言是：

“通过不在一条直线上的一点，可以画一条且只有一条与该直线平行的直线。”

这一条被很多人怀疑，包括大神高斯、黎曼、庞加莱等。

大神们把这条重新假设，开创了好多新的几何构架，它们都叫【非欧几何】。

其中著名的是：

罗巴切夫斯基几何（双曲几何），他假设“通过不在一条直线上的点，可以画多条与该直线平行的直线。”

黎曼几何（椭圆几何）：假设“通过不在一条直线上的点，无法画出与该直线平行的直线。”

这些几何体系各有各的世界观：

没关系，它们没有谁比谁好，只是对应到现实问题中，有【谁比较合适】而已。

第四集，平面镶嵌

这一集，小学生都能看懂。也是唯一小学生能看懂的一集。

小学四年级下册会讲到平面镶嵌。

能够镶嵌的图形有个特点⬇️

看出来了吗？

角在一起，组成一个周角（360度）。

以前我也说过平面镶嵌（可到gzh，丽丽xyz找一找）。

我是从密铺的角度来说的。

密铺又分为周期性和非周期性密铺。

如果你厌烦了周期性密铺，可以用非周期性密铺，比如说彭罗斯筝形（当然还有其他一些不规则形状）。

纪录片则从正镶嵌讲起——用正多边形镶嵌平面，进行密铺。

正多边形虽然多，但能够密铺的正多边形（正镶嵌）只有：

正三角形

正四边形

正六边形

不过它们搭配起来倒是可以实现【半正镶嵌】。

然而，半正镶嵌也不多，只有8种。

那不用正多边形呢？

用不规则的形状叫【非正镶嵌】，有很多。

单是四边形就能演化出好多形状，因为它的内角和总是360度。

用五边形就不同了，一共也就15种。

是不是很有意思？更有意思的是：

这些还都只是周期性镶嵌——就是通过这些图形的规律性重复，把一个平面铺满。还有非周期性镶嵌（没有规律性重复），彭罗斯筝形就是非周期期性镶嵌的一个典型例子。

到这里跟我说的呼应上了。

第五集，图论

恕我无知，这是我的新领域。

以前没了解过图论，这一集于我来说挺烧脑的。

不过，看完之后，打开了新世界。

原来，我们的大脑是研究图论的最好模型。

当一个点伸出去好多分支，各个分支又彼此相连的话，它们的体积会非常大。

可我们那么多的突触和神经元，怎么能容纳在一个小小的头颅之内呢？

进化是比数学家更懂数学——你去片中找答案吧。

第六集，多维

一个四维物体长什么样呢？我想象不出来。

不过，数学家说我们可以通过投射来理解更高纬度的物体。

是这样的：

一个立方体投射在二维平面中，是四边形、六边形、三角形。

通过这些投射，我们可以推算出它三维的样子。

同样的，在三维世界里，我们看到的立方体，也可能是四维几何体的投射。

根据这些投射的形状，我们也可以推测出它4维的样子。

当然，这需要顶级想象力。

拥有这种想象力的数学家艾丽西亚-布尔，做出了柏拉图正方体的四维模型。

她的思路来自经典数学读物《平面国》，感兴趣可以拓展阅读。

另外还有一个纪录片也是讲维度的，我做过介绍（可到gzh，丽丽xyz找一找）。

来到第七集，开普勒猜想

讲最佳堆叠。

把一堆球体严密的堆在一起，怎样堆最节省体积。

这个议题起源于开普勒的猜想。

答案似乎显而易见，没想到证明它却花了400年。

无数大神都参与过（其中就有高斯），直到2017年才结束。

看这集会禁不住感叹：

数学是解谜的过程，此谜擅长引人入坑，又让无数英雄不能自“拔”。

第八集，混沌理论

这种混沌理论的纪录片我以前也写过。

（可到gzh，丽丽xyz找一找）

⬆️这个纪录片重点讲：

混沌理论不可预知，它虽遵从简单的规则却演化成了复杂的系统。

而这里⬇️又加进了新东西：

我们虽不能预测混沌系统下一刻会演变成什么样子，但它整体上是有规律的。

一如天气。

明天天气到底如何，谁也说不准确；但是一年四季整体趋势我们是明确的。

因为混沌系统的函数图像呈现汇聚趋势，它有一个吸引子——

这点刷新了我的认知。

第九集，最佳旋转的方法

数学家一直致力于寻找最佳旋转的方法。

他们找到过几个模型，似乎还不错。

但这些模型都太过理想了，现实中到处都是不理想的模型。

就比如我们的地球。

那能不能找到一组方程，适合所有的模型呢？

也就是找到最佳旋转的通解。

这个问题被誉为数学界的海妖——听听，非常难。

直到1983年，数学家齐格林才证明了通解并不存在。

他在证明上转换了视角：

不去找解、证明解的存在，而是证明答案不存在。

从此，数学也开启了一个新领域：

与其使劲求证一些方程，不如尝试证明它们无解。

是的，做数学题很多时候可以反着来。

第十集，判定问题

也是一个寻找通解的数学难题。

最先由数学家希尔伯特提出：

是否存在一种算法，可以判定哪个数学命题正确、哪个不正确呢？

后来，人们把这个问题转化成一个递归函函数；

再后来，图灵把它转化成图灵计算；

美国数学家邱琦把它等价成兰姆达表达式。

这三个问题是等价的，解决其中一个就行了。

最终通过图灵计算，人们否定了这一命题：

不存在一种算法可以判定数学命题的真假。

等于折腾了一圈，否定了一句话。

好多时候数学就是这样，看起来大家费心费力只是证明了一件事不可行。

不过在证明的过程中，数学家会发明很多解题方法，顺便产生几个数学分支。

这些分支又会不经意间促进现实世界某方面的技术革命。

这次也一样。

好，介绍到这里结束。

如果你基础不好，看过介绍再看原片会轻松许多。

如果你基础很好，直接去看，看完来跟我交流。

目前只在B站独播，需要会员。

如果你没有会员，想看的时候集中看——

买一个会员，在周末或者小假期里过过瘾。

分享结束，下次再见。