主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算st在58s+50t=13条件下的最大值。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换t=(13-58s)/50，得到关于s的函数，再配方并根据二次函数性质得st的取值范围。

st=a(13-58a)/50

=-(1/50)(58s²-13s)

=-(29/25)(s²-13a/116)

=-(29/25)(s-13/116)²+169/11600,

则当s=13/116时，st有最大值为169/11600。

思路二：判别式法

设st=p，得到t=p/s,代入已知条件关于s的函数，并根据二次函数性质得st的取值范围。

58s+50t=13,

58s+50p/s=13,

58s²-13s+50p=0,对s的二次方程有：

判别式△=13²-4*58*50p≥0,即：

p≤13²/(4*58*50)=169/11600,

此时得st=p的最大值=169/11600。

思路三：不等式法

当s，t均为正数时，则：

∵58s+50t≥2√(58*50*st),

∴(58s+50t)²≥4*58*50*st,

13²≥4*58*50*st,

即：st≤13²/(4*58*50)=169/11600,

则st的最大值为169/11600。

思路四：数形几何法

如图，设直线58s+50b=13上的任意一点P(s₁, t₁),

op与x轴的夹角为θ，则：

58s₁+50t₁=13,t₁=s₁tanθ,

58s₁+50s₁tanθ=13，得

s₁=13/(58+50tanθ),

|s₁*t₁|=13²*|tanθ|/(58+50tanθ) ²,

=13²/[(3364/|tanθ|)+2*58*50+2500|tanθ|]

≤13²/(2*58*50+2*58*50)=169/11600。

则st的最大值=169/11600.

思路五：三角换元法

将st表示成三角函数，进而得st的最大值。

由58s+50b=13，要求st的最大值，不妨设s，t均为正数，

设58s=13cos²t，50t=13sin²t，则：

s=(13/58)cos²t, t=(58/50)sin²t,代入得：

st=(13/58)cos²t*(58/50)sin²t,

=1/4*(13/58)*(58/50)(4cos²t*sin²t),

=13²/(4*58*50)*sin²2t,

当sin2t=±1时，st有最大值=169/11600。

思路六：中值代换法

设58s=13/2+t ₁,50t=13/2-t ₁，则：

s=(1/58)(13/2+t ₁),t=(1/50)(13/2-t ₁)

此时有：

st=(1/58)(13/2+t ₁)*(1/50)(13/2-t ₁)

=1/(58*50)(13²/4-t ₁²)。

当t ₁=0时，即：st≤13²/(4*58*50)=169/11600,

则st的最大值为169/11600。

思路七:构造函数法

设函数f(s,t)=st-λ(58s+50t-13),

则偏导数f's=t-58λ,f't=s-50λ,

f'λ=58s+50t-13。

令f's=f't=f'λ=0，则：

t=58λ,s=50λ。进一步代入得：

58λ+58λ=13,即λ=13/116.

则有s=50*13/116,b=58*13/116.

st的最大值=50*58*(13/116)²=169/11600。