假设 ( a + b )² = a² + b²是一个常见的数学错误。如果你没有想过扩大括号，这个答案可能看起来很自然。一旦你被“你忘了 2 ab ”打断，你就会记住这个答案。

我们的目标是找到a和b的值，使这个不正确的等式实际上是正确的。如果我们像往常一样假设a和b是数字，那么有一些情况下等式成立，但它们很无聊。

作为一名代数爱好者，我在学习过程中遇到过许多使这个等式成立的独特方法，但我们必须对a和b做出一些改变……

为什么 ( a + b )² = a ² + 2 ab + b ²？除了扩大括号之外，下面是求a + b平方时发生的情况的图表：

紫色矩形给了我们额外的 2 ab。由于移除紫色矩形后形状不再是正方形，因此您可能已经能够看到 ( a + b )² = a ² + b ² 的解。

让我们来学习一下代数。

为了使等式成立，我们需要ab = 0，当且仅当a = 0 或b = 0（或两者）时，该等式才为真。

虽然这很有说服力，但这是基于a和b是数字的（完全合理的）假设。让我们稍微改变一下规则，改变a和b 的取值。这样，我们就可以让ab = 0，而a和b都不为 0。这就是我们在本文的其余部分将重点关注的内容。

环是一种数学结构，您可以在其中进行加、减和乘运算。每个环都必须包含一个“加法恒等式”，也称为“零元素”。最好用一个例子来解释。

最受粉丝喜爱的环是整数Z。

我们可以对整数进行加减运算，得到另一个整数。我们也可以对整数进行乘法运算，得到另一个整数。但除法就不一样了。例如，5/4 = 1.25，它不是整数。

整数中的零元素当然是 0。一般来说，环中的零元素的特点是，将它添加到环的另一个元素时不会产生任何变化。3 + 0 = 3。将 0 添加到 3 后，它仍然是 3。

至于非环的例子，我们来看看正整数。你能猜出问题是什么吗？我们不能减法。4–6 = -2，这不是一个正整数。

对环的宽松要求导致了一些奇怪的行为。本文最重要的环怪癖是“零因子”。

零因子是环中的一个元素a ，使得环中存在另一个元素b，且ab = 0。我们还要求a和b都不是零元素。整数中没有零因子。也许整数不在考虑范围内，但零因子正是我们之前所追求的。

我们只需要一些具有零因子的环，然后我们就会得到 ( a + b )² = a² + b²的新解。

这个环表示为Z /6 Z，其中Z再次表示整数。顾名思义，这个环只有六个元素。它们是 {0, 1, 2, 3, 4, 5}。我们如何将它们相加和相乘？3 + 5 = 8，它甚至不在环中。

我们将它们“模 6”。这意味着我们取除以 6 后的余数，因此 7 将变成 1。8 将变成 2，依此类推。

这个环有零个因子。以 2 为例——2 和 3 都不是零，但Z /6 Z中的 2 * 3 = 0。因此，

我们的第一个非无聊的解法是 ( a + b )² = a² + b²！我将把它作为一个挑战来计算数字并说服你自己这个等式在这里确实是正确的。

您还可以找到Z /6 Z中的其他零因子吗？

你可以用任意正整数代替 6，得到一个具有类似性质的新环。事实证明，如果正整数m不是素数，则环Z / m Z有零个因子。

是的，又是整数。这次是……平方？不完全是，环Z ²（读作“Z two”）只是二维坐标。零元素是 (0, 0)。

它们的形式为 ( x , y )。这只是x - y平面，但您可以将点相乘，也可以将它们相加。那么如何将它们相乘呢？只需分别将x坐标和y坐标相乘即可。

由于分量相乘，此环有零因子。取 (1, 0) 和 (0, 1)。它们都不为零，但 (1, 0) * (0, 1) = (0, 0)。

对于Z ² 中的任何一对 ( x , 0) 和 (0, y )来说，这都是正确的，这为我们提供了 ( a + b )² = a ² + b ²的无限多个新解。

最后，我们希望 ( a + b )² = a ² + b ² 对于任何一对元素a和b都成立。还记得之前的Z /6 Z吗？现在让我们试试Z /2 Z。Z / 2 Z = {0, 1}。就是这样。加法和乘法现在以 2 为模，所以 1 + 1 = 0。

奇怪的是，这个环没有零因子，但我们的错误方程对于a和b 的任何选择都成立。只有四种组合，所以检查起来很快。

照片由Unsplash上的Alexander Sinn拍摄

Z /2 Z是一个令人惊讶的好环。乘法是可交换的（ab = ba），你可以用除了 0 之外的任何数除以它。我们可以将这样的环称为“域”。

总而言之，常被误认为是 ( a + b )² = a² + b²的方程式在a和b都不等于 0 的某些情况下实际上可能为真。如果您再次陷入这个错误，则只需提及Z /2 Z。

如果您对环和零除数感兴趣，我会在下面提供一些值得思考的内容。

额外挑战 1：如果p是素数，为什么环Z / p Z中没有零因子？

额外挑战 2：找到一个环和环中的一对元素a、b ，使得 ( a + b )³ = a³ + b³。

额外挑战 3：证明若R为有多个元素的环，则R ² 有零个因子。