高中数学：利用导数知识画函数图像（八十三）

曲线10x³+y³=1的主要性质及其图像示意图

本文介绍曲线方程10x³+y³=1的定义域、单调性、凸凹性等性质，同时用导数的知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简洁表示函数的图像示意图。

观察曲线10x³+y³=1的特征，可知该函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

求出函数的一阶导数，如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

对曲线方程10x³+y³=1两边同时对x求导，有：

30x^2+3y^2y’=0，即：

y’=-10x²/y²<0,

则该曲线方程在全体实数即定义域上为单调减函数。

计算函数的二阶导数，判断导数的符号，如果二阶导数>0，则函数在定义域上为凹函数，如果二阶导数<0，则函数在定义域上为凸函数。

y’=-10x²/y²，再次对x求导，有：

y’’=-10*(2xy²-2x²yy’)/y⁴,

=-20*x(y-xy’)/y³,

=-20*x(y+10x³/y²)/y³,

=-20*x(y³+10x³)/y⁵,

=-20x/y⁵,

又因为10x³+y³=1，则y=³√[(1-10x³)],

代入二阶导数，则：

y’’=20*x/³√[(1-10x³) ]⁵

=20x*³√[1/(10x³-1)]⁵,

令y’’=0,则x=0，

同时有无穷间断点x=³√(1/10)，此时有：

(1)当x∈(-∞，0)，(³√(1/10)，∞)时，y’’>0，函数图像为凹函数。

(2)当x∈[0, ³√(1/10))时，y’’＜0，函数图像为凸函数。