今天的话题仍为四省联考的填空压轴题——开关问题，上次我们用的是对称性结合实验的方法来求解，这一次，我们用高斯的同余思想来求证。

记九宫格中，从最初状态（全关）到最终状态（仅（1，1）开，其余全关）时，开关（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（3，3）总共按动的次数（从左到右、从上到下）分别为：A、P、B、S、M、Q、D、R、C，（显然它们都是非负数），如下图所示——

（有的同学就说了，你这排列的字母怎么如此杂乱呢？别急，我也是费了好几个脑细胞的！你看，四角的ABCD方方正正的多好哇，再看夹中的PQRS不也很中规中矩么，更别说那个中心的M，也是够亭亭玉立的吧！仔细看看下图，是不是很别出心裁啊……）

把开关的“开”、“关”状态转化到数学上，我们不妨令，“开”为1、“关”为0（此即为数学建模）。

根据题意，每按开关一次，将导致自身和所有相邻的开关状态改变。即每按一次，不管是“开”或“关”，只要按下去，发生变化的除了自身，还有其相邻的，上、下、左、右，都要发生变化，“开”变成“关”，“关”变成“开”。

也就是说，开关（1，1）的最终状态是由自身按动的次数A和相邻开关（1，2）、（2，1）按动的次数P、S共同作用的结果，而开关（1，1）的最终状态为“开”即1，故有A＋P＋S除以2的余数为1，此时关于这种结构关系，为研究方法，我把它记为：A＋P＋S‖2＝1，…①。

同理，开关（1，2）、（1，3）、……、（3，3）的最终状态都是“关”，即0，所以，依次有下列关系式——

P＋A＋B＋M‖2＝0，…②

B＋P＋Q‖2＝0，…③

S＋A＋D＋M‖2＝0，…④

M＋P＋Q＋R＋S‖2＝0，…⑤

Q＋B＋M＋C‖2＝0，…⑥

D＋S＋R‖2＝0，…⑦

R＋M＋D＋C‖2＝0，…⑧

C＋Q＋R‖2＝0，…⑨

记n＝A＋B＋C＋D＋P＋Q＋R＋S＋M，则本题就转化为“求n的最小值”。

注意，9个不同关系式含有9个未知数，故未知数是可解的！

具体解法如下：

①＋③＋⑦＋⑨，（地位相同，四正角位）得

（A＋B＋C＋D）＋2（P＋Q＋R＋S）‖2＝1；…⑴

②＋④＋⑥＋⑧，（地位相同，边中四正）得

2（A＋B＋C＋D）＋（P＋Q＋R＋S）＋4M‖2＝0；…⑵

而对于⑤，有（P＋Q＋R＋S）＋M‖2＝0，…⑶

对于⑴，因2（P＋Q＋R＋S）‖2＝0，故有A＋B＋C＋D‖2＝1，…⑷

对于⑵，因2（A＋B＋C＋D）‖2＝0，4M‖2＝0，故P＋Q＋R＋S‖2＝0，…⑸

对于⑶，显然有M‖2＝0，即M最小值为0。

再由

①＋⑨，得A＋C＋（P＋Q＋R＋S）‖2＝1，结合⑸，有A＋C‖2＝1，再根据⑷，有B＋D‖2＝0；（③＋⑦亦可！）

④＋⑥，得Q＋S＋（A＋B＋C＋D）＋2M‖2＝0，则Q＋S‖2＝1，而P＋Q＋R＋S‖2＝0，则P＋R‖2＝1。（②＋⑧亦可！）

继续——

①＋③，得A＋B＋2P＋Q＋S‖2＝1，而Q＋S‖2＝1，显然2P‖2＝0，则A＋B‖2＝0。再结合②，有P‖2＝0，即P的最小值为0。

同理③＋⑨，得B＋C＋P＋R＋2Q‖2＝0。而P＋R‖2＝1，则B＋C‖2＝1。再结合⑥，知Q‖2＝1，即Q 的最小值为1。

依此反复推理，知R‖2＝1，S‖2＝0；A‖2＝1，B‖2＝1，C‖2＝0，D‖2＝1。即R、A、B、D的最小值都为1，S、C的最小值都为0。

综上所述，n＝A＋B＋C＋D＋P＋Q＋R＋S＋M≥1＋1＋0＋1＋0＋1＋1＋0＋0＝5，即n的最小值为5。

注意：本法所涉及的知识点有整数的同余原理，同余的加法性质等！

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的，看，就是下面这位大咖：

㈠ 同余的概念：

两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod　ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，17除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和17同余，记做12≡17（mod　5）。

㈡ 同余的性质：

（1）对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。

（2）对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

（3）对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么这两个整数的差就一定能被这个除数整除。

（4）对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。