2023年春季“湖北省部分重点中学三月联合检测”，暨湖北高二3月联考已于3月14、15日考试完毕。

聪明的你，很快会发现，3月14、15日正是湖北高一名校的三月联考。

没错，一到三月，湖北的联考就是这么拽，这也从侧面说明了湖北教育的无比给力性！

这次的高二联考是由湖北智学联盟统一组织的，参考学校也都是名校，比如襄阳四中、襄阳五中、恩施高中、夷陵中学、郧阳中学、随州一中、钟祥一中和武汉外校。

不过，这次的数学试题也很“卷”——试题难度大、运算量大。不访问问那些考过的学生和走过路过的老师们，你们来说说，数学难吗？

我们还是来看一看这次的填空压轴题，即第16题吧——

已知不等式e²ˣ－kx²＋x≥㏑x＋㏑k／2（k＞0）恒成立，则k的最大值是——。

分析 这是一道恒成立求极值的导数综合题，常规解法，先对其进行分离参数，可发现参数处在对数中，也不易分离，故应另辟蹊径。

这时，同构又派上了用场！

看我的七十二变：

显然，定义域为x＞0。

e²ˣ－kx²＋x≥㏑x＋㏑k／2，

（先把参数放在同一边）有

e²ˣ－㏑x＋x≥kx²＋㏑k／2，

（对结构变换，抓住二次项）有

(eˣ)²－㏑x＋㏑eˣ≥(√kx)²＋㏑k／2，

（移项）有

(eˣ)²＋㏑eˣ≥(√kx)²＋㏑k／2＋㏑x，

（利用对数换底公式变形）有

(eˣ)²＋㏑eˣ≥(√kx)²＋㏑√k＋㏑x，

（继续合并）有

(eˣ)²＋㏑eˣ≥(√kx)²＋㏑(√kx)，

这就是同构的过程，明白了吗？

下面就进入构造函数的常规操作：

设f(x)＝x²＋㏑x（x＞0），显然f(x)在（0，＋∞）上单调递增，则eˣ≥√kx，即k≤(eˣ／x)²。

参数终于分离了，我们继续构造函数吧：

令g(x)＝eˣ／x（x＞0），

看看峰回路转，又到求函数的极值了，可求导解之，也再一次进入了常规解法！

则有g'(x)＝eˣ（x－1）／x²，

显然g'(1)＝0，

当x＞1时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；

当0＜x＜1时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。

故g(x)＝eˣ／x在x＝1处取得极小值，当然也是最小值，即g(x)的最小值为g(1)＝e。

因此，k≤e²，即k的最大值为e²。

此题答案已出。但留给我们的却是无限的沉思，如果不用同构，本题又如何得解？

欢迎你在评论区里留言，留下你的锦囊妙计吧！

附部分答案——