如果教法正确，恨数学的人会比现在少得多。激发对数学的热爱，有各种方法。一种方法是伽利略的父亲无意识地采用过的方法。但这种方法对于教育界的权威而言，可能不太合适（伽利略的父亲生怕孩子喜欢上数学，一直小心防范，不让伽利略接触数学，结果伽利略反而迷上了数学）。还有其它可以更广泛地成功的方法。所有的数学教学，在初期阶段，都应当从实际问题开始。

问题应该简单，并让小孩觉得有趣。我（罗素）小时候学习时，书上的问题都是那种没一个人愿意去解的问题。比如：A,B,C三人从X地走向Y地，A步行，B骑马，C骑车。当钟点数为奇数时A要睡觉，B的马是瘸腿，C在路上扎破了轮胎。A花的时间是B的马如果腿没瘸时花的时间的两倍，C到达的时刻是A如果不睡觉时到达时刻之后一个半小时，等等。这些玩意让最热心的学生都没了兴趣。最好的教学方法，是从数学的早期历史中寻找启示。

人们发明数学这一学科，是因为遇到实际问题，出于好奇心或某种迫切的实际理由，人们真地想要解决这些问题。古希腊数学和哲学的奠基人是泰勒斯。他旅行到埃及时，埃及国王问他能不能找出大金字塔的高是多少。泰勒斯测量了金字塔和他自己的影子的长度，算出了金字塔的高。国王又问他，不离开陆地，能不能知道海上的一条船有多远。

泰勒斯想出一个办法：假设河岸沿东西方向，A是岸上一点，船在A点正南方；沿河岸向东走到另一点B，发现船正好位于西南方向；那么，B点到A点的距离，正好就是船到A点的距离。如果船是敌人海军，这一知识非常有用。这些故事，以及下面的故事，不一定真实准确，但这不重要。严肃的数学开始于毕达哥拉斯定理。古埃及人在长期的土地测量中注意到，如果一个三角形的边长分别是3、4、5，那么一个角是直角。毕达哥拉斯注意到一件奇怪的事：

3乘3是9，4乘4是16，9加16是25，正好就是5乘5。他将这进行了推广，并证明了……。这是一个最重大的发现，激励古希腊人建立起几何科学。但是这一发现带来一个问题，困扰了古希腊与后世数学家，直到现在才完全解决。设有一直角三角形，两条短边的长都是1，斜边的长是多少？表示斜边长度的数，与自身相乘后，必定等于2。

古希腊人很快发现，没有这样的数！它既不是整数，也不是分数！它能是什么呢？这一直是一个奥秘……类似的问题是2的立方根，也就是数x，x乘以x乘以x要等于2。某个城市遭受一系列厄运，最后去德尔斐的阿波罗神庙请示神谕，询问灾难的原因。阿波罗说，他们城市里阿波罗神庙中的神像太小了，他想要一个两倍大的神像。市民热切遵从神的命令，

他们一开始打算做一个高度为旧神像两倍高的雕像，但很快意识到神像还应是两倍宽和两倍厚，因此就需要8倍的材料，也就是原大的8倍。为了让新神像总共是原像的两倍大，它的高该是多少呢？市民派代表团去找柏拉图，问他的学园中有没有人能给出答案。柏拉图叫他学园中的数学家们研究这个问题。几百年以后，他们得出结论：没有答案。

当然，问题能近似地解决，但是没有一个分数能够连乘三次以后精确地等于2。问题虽然没有解决，但是在寻找解答的过程中，人们做了很多有用的工作。暂时告别古代，来看一个保险公司的问题。假设你想投一笔保，你死后可以让你的遗孀得到10万元。你每年应当支付多少钱呢？假设你（预期）还能活20年。每年支付5000元吗？不，你没把利息考虑进去。

你第一年支付的5000元要增值20年，第二年支付的5000元要增值19年，等等。实际上，若年利率为百分之四，你每年支付5000元，20年以后，你将得到大约15万元。这一类的总和怎么计算呢？这是“几何数列”的求和问题。“几何数列”是这样一系列的数，其中每一个数都是前一个数的固定倍数。比如1，2，4，8，16，…每个数都是前一个数的两倍；1，3，9，27，81，…每个数都是前一数的3倍；1，2分之1，4分之1，8分之1，16分之1，…每个数都是前一数的一半。

回到投保问题。每元钱过一年后增长为1.04元，第二年又增长为1.04元的1.04倍，第三年又增长为1.04元的1.04倍的1.04倍。这样，如果你每年缴纳1元钱，20年后，你会得到1.04的20次方加1.04的19次方加…加1.04的平方加1.04（元），这是一个几何数列。古希腊人对几何数列非常感兴趣，特别是那种一直延续下去的几何数列。比如，2分之1加4分之1加8分之1加…，一直加下去，总和是1。循环小数0.999999…也等于1。人们花了很长时间，才完全理解这些奇怪的结果。

古希腊几何学不仅仅考虑直线和圆，还考虑“圆锥曲线”，这是用一个平面去截一个圆锥所得到的各种曲线。它们还是一个圆投在墙上的影子所有可能的形状。古希腊人研究它们纯粹是为了好玩，而不是为了实际用途，因为他们看不起具有实际用途的东西。但在大约2000年之后，在17世纪，人们突然发现它们有着最为重大的实际用处。随着火炮的发展，人们发现，如果你想击中一个远处的目标，你不能直接瞄准它，而要往上瞄一点。没有人能精确地知道炮弹是怎么走的，

但军队长官迫切想知道。在托斯卡纳公爵手下任职的伽利略发现了答案：炮弹走的是一条抛物线，是圆锥曲线中的一种。大约在同时，开普勒发现，行星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，这是另一种圆锥曲线。圆锥曲线还能看成圆的影子。如果你有一台带有圆形灯罩的灯，将灯罩开口朝上放，灯罩在天花板上的影子是一个圆，而在墙壁上的影子则是双曲线。拿一张纸放在灯罩上方，纸张稍稍偏离水平面时，灯罩在纸上的影子是椭圆；让纸张倾斜，椭圆变长；继续让纸张倾斜，

影子刚刚变成不是椭圆时，你得到抛物线；纸张继续倾斜，得到双曲线。（还可以用一个硬纸圆盘与手机电筒，再利用墙壁，做这个实验。我建议大家实际玩一下，simple and beautiful。）喷泉出来的水珠画出的曲线是抛物线。数学上，影子问题与透视问题是一回事。图形与它所有可能的影子有着一些共同的性质，对这些性质的研究被称为“射影几何”。虽然射影几何真地比古希腊人研究的那种几何要简单，但人们很晚才发现它。射影几何的先驱之一是帕斯卡，可惜他认为宗教沉思比数学更重要，没有进行更深入的研究。