1 到 1000 之间有多少个数字可以被 3、5 或 7 整除？
如果只是要求您找出 1 到 1000 之间有多少个数字能被 7 整除，那么这个问题会简单得多，对吗？想想如果数字比较多，问题会变得更加困难，然后想办法解决。
解答之后，我将解释如何解决这个问题更难的版本，并且我将展示它甚至有一个公式！
祝你好运，解决方案如下，最后还有一些额外的挑战。
我提到过，如果只需要解决一个数字的问题，那么问题就会更容易，所以让我们来介绍一下如何做到这一点。
要找出 1 到 1000 之间有多少个数能被 3 整除，你需要用 1000 除以 3。1000 / 3 = 333.333…这不是一个整数。由于 1000 不能被 3 整除，因此它不会增加 3 的倍数总数。因此，我们总是向下舍入（在本例中为 333）。
有一些用于向下舍入的符号，即底部括号：
对于五和七同样如此：
不幸的是，我们不能直接把这些数字相加就能得到答案。这是因为有些数字能被 3、5 和 7 中的多个数整除。
让我们通过计算有多少个数字可以被一对这些数字整除并减去总数来解释这一点（我们稍后会讨论三元组）。
3 * 5 = 15 ||| 3 * 7 = 21 ||| 5 * 7 = 35。我们需要检查从 1 到 1000 中有多少个数字能被这三个数字整除。但这三个数字肯定有自己的重叠倍数，我们又回到原点了，对吧？
是的，他们会的，但这次会有所不同。稍后你就会明白我的意思。现在让我们来计算一下。
和之前一样，我们算多了，因为从 1 到 1000 中有一些数字可以被 15、21 和 35 的对和三元组整除。但这次不同。由于 15、21 和 35 是由 3、5 和 7 的乘积组成的，所以每对 15、21 和 35 都有一个共同的因数。
15 * 21 = 315 ||| 15 * 35 = 525 ||| 21 * 35 = 735结果，这三个乘积（315、525 和 735）的因数都是 105，也就是 3 * 5 * 7，也就是我们一开始的三个数字。
这意味着，为了找出需要将总和加回到多少，我们需要找出 1 到 1000 之间有多少个数字可以被 105 整除。
最后，我们可以把所有这些放在一起，发现从 1 到 1000 中能被 3、5 或 7 整除的数字总数是
这样问题就解决了。✅
现在您已经看到了解决方案的系统演练，我将讨论可以应用于此问题的公式。该公式本质上是我们刚刚使用的方法的概括，这就是为什么我将其保存到最后。
包容-排斥原理包容排斥原理 (IEP) 可让您找到集合并集的大小，无论它们是否重叠。该公式适用于任意数量的集合，但我们首先将重点关注三集合示例。
|| 表示大小（或元素数量），杯子表示并集，帽子表示交集。将三个圆的大小相加后，减去它们的交点以补偿重叠部分。这样做会过度补偿三个圆重叠的中心。然后将其加回去，得到正确的大小。
该公式看起来很像我们对上述问题的解决方案。那是因为我们可以将此公式应用于上述问题。假设A、B和C是以下集合：
那么我们上面的问题就等同于寻找以下值：
这可以通过 IEP 来完成。| A | 是 1 到 1000 之间能被 3 整除的数字总数。| B | 和 | C | 也是一样，分别是 5 和 7。上面，我们计算出它们的大小分别为 333、200 和 142。
A ∩ B是 1 到 1000 之间的数字集合，能被 3 和 5 整除，所以能被 15 整除。我们可以对A ∩ C和B ∩ C进行类似的论证。上面，我们计算出这些集合的大小分别为 66、47 和 28。
最后，A∩B∩C是1到1000之间能被105整除的数字集合。上面我们计算出这个集合的大小为9。
将这些数字代入 IEP 公式，我们得到的结果与之前完全相同！这是相同的方法。
IEP 公式的一般情况是：
|并集| = |单数| — |双数| + |三元组| — |四元组| + |五元组| — …等等。现在你已经掌握了这个公式，我还有一些额外的挑战。
挑战 1：（常规计算）1 到 1000 之间有多少个数字能被 3、5、7 或 11 整除？建议使用计算器。
挑战 2：（并非所有数字都是互质的）从 1 到 5000 有多少个数字可以被 2、6 或 9 整除？
挑战 3：（特殊情况）1 到 1000 中有多少个数字是平方数或者可以被 3 或 5 整除？
