带通信号和系统在通信系统中至关重要。有趣的是，实值带通信号中携带的所有信息都包含在相应的复值基带信号中。这种复杂的基带表示对于理解无线电通信系统非常有帮助。
在本文中，我们将了解带通信号的复杂基带表示。作为本次讨论的一部分，我们还将探讨交流电路中相量分析的概念。然而，在我们深入研究之前，让我们通过回顾低通和带通信号的定义来确保我们已经涵盖了基础知识。
低通和带通信号当信号的频率内容或频谱以零频率为中心时，该信号称为低通信号。换句话说，低通信号具有明确定义的带宽 B，其频谱成分可以忽略不计 |f|> B.
请注意，如果 s（t） 是实值函数，则其傅里叶变换 （S（f）） 将表现出共轭对称性。这意味着 S（f） 的实部是偶数函数，而虚部是奇数函数。
另一方面，带通信号的频谱以频率 （fc），这比信号带宽 （B） 大得多。图 2 显示了示例带通信号的实部和虚部。
与图 1 中的示例基带频谱一样，图 2 由于信号为实值，因此表现出共轭对称性。
实际信号的带宽定义为信号中包含的所有正频率分量的跨度。如果信号中存在的最高和最低正频率分别为fmax 和 fmin, 则信号的带宽为：
根据上述定义，频率fc在恒定幅度下，A 为零。
但是，如果A随时间缓慢变化，则我们有一个带宽不为零的幅度调制 AM 波。
交流电路中的相量表示相量是一个复数，表示正弦波形的幅度和相位角。在交流电路分析中，相量用于分析频率相关效应。
例如，考虑公式 2 中所示的单音正弦波。此信号是复杂函数的实部：
其中运算符 Re{.} 表示括在大括号内的量的实部。我们可以将大括号内的项表示为振幅为 A 且初始相位为 θ 的复平面中的向量。如图 3 所示，该信号以 ⍵ 的角速度绕原点旋转c= 2πfc.
上述矢量在实轴（其实部）上的投影产生公式 2 中所示的原始信号。角度项 ωct表示 稳定地逆时针旋转fc每秒转数。为了获得信号的简化表示，我们将暂时忽略这项。
去掉旋转会得到一个固定的向量，它对应于方程 3 中方括号内的项。这个项与时间无关，是与我们的信号相关的相量。它由下式给出：
为了理解相量表示的重要性，请考虑由正弦输入激励的线性时不变 （LTI） 系统。如图 4 所示，这种激励在电路内的所有节点产生正弦信号。尽管所有这些信号具有相同的频率，但它们的幅度和相位可能不同。
由于所有这些矢量都以相同的速度旋转，因此它们之间的相位差不会随时间变化。这些矢量的振幅比同样与时间无关。因此，我们可以在特定时刻冻结旋转矢量。
从电压和电流量中去除时间依赖性，我们可以将它们表示为复值、与时间无关的数字。这大大简化了电路分析。一旦我们计算了电压或电流量的向量，我们就可以重新引入旋转方面来确定该量的实际时域表达式。
简而言之，相量消除了时间依赖性的复杂性，使描述电压和电流量变得更加容易。粗略地说，您可以将相量视为单频正弦波的低通或直流等效物。
导出调制带通信号的低通等效值到目前为止，我们假设正弦波具有固定的振幅和相位。但是，类似的分析可以应用于固定频率的正弦波fc具有缓慢变化的振幅和相位。设调制波以 ⍵c定义为：
其中 A(t)和 θ(t)是时变信号的瞬时幅度和相位。上述方程可以改写为：
等式 7 将括号内的个项语分离出来：
其中si(t)和 sq(t) 分别是等效基带信号sl(t)的实值同相分量和正交分量。这些分量由下式给出：
由于带通信号的同相分量和正交分量变化缓慢，我们知道它们都是低通信号。将sl(t)的直角坐标形式代入等式 6，我们可以用同相分量和正交分量来表示原始射频波：
上面的等式表明，带通信号可以用两个低通信号来表示，特别是它的同相和正交分量。
等效低通信号：一种可视化表示带通信号的复低通表示可以看作是一个时变相量，其起点位于（sI - sQ）复平面的原点。这在图 5 中进行了说明。
由于同相分量和正交分量（分别为 si (t) 和 sq (t)）是时间的函数，相量矢量的端点在（sI - sQ）平面内移动。从等式 6 中，我们可以看到，等效基带信号sl(t) 与复指数exp(jωct) 相乘，从而产生带通信号 sRF (t)。因此，矢量 sl(t)以及(sI-sQ)平面以角频率 ⍵c = 2πfc 旋转。
原始带通信号 sRF(t) 是这个时变相量在代表实轴的固定直线上的投影。
重建带通信号等式10 立即告诉我们如何从同相和正交分量重建带通信号。低通到通带转换电路如图 7 所示。
接下来，我们需要从带通信号中确定等效的基带信号。我们先从乘法开始sRF(t) 乘以 2cos（⍵ct):
如果我们以两倍于载波频率的信号分量进行滤波，我们将得到：
同样，将 sRF(t) 乘以–2sin(⍵ct)会得到：
应用适当的低通滤波器可消除两倍载波频率处的信号分量，从而：
图 8 显示了如何使用一对乘法器和一对低通滤波器来实现公式 12 和 14。
总结所有实值带通信号中的信息都包含在相应的复值基带信号中。在本文中，我们学习了如何推导带通信号的低通复等效信号，反之亦然。值得注意的是，扩展这一讨论使我们能够用复低通滤波器来表示带通滤波器。拥有带通信号和滤波器的低通模型具有重要的实际意义。例如，现代通信收发器应用这些模型对复基带信号进行数字处理，减少了对带通信号进行模拟处理的需求。图 7 和图 8 所示的电路对于理解线性调制方案至关重要，无论这些方案是模拟的还是数字的。
原文
https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/how-phasors-help-us-understand-bandpass-signals