古代的航海民族更能体会到几何的重要作用。在陆地上行走，顺着大路走就行了，走了多远，还有多长时间可以到达目的地，一问旁边是人就可以了。对于航海，这一切都不存在，没有明确的路，需要自己掌握船前进的方向，走了多远，需要自己想办法计算和掌握。如果万一遇到大风，偏离了原来的航向，需要自己想办法确定当前所在位置，同时规划计算要到达目的地需要按什么方向走，走多远可以到达港口。这一切，都需要对角度和距离，以及它们之间的相互关系有高度的敏感性。

航海需要掌握方向和距离

古希腊文明数学比较发达，或许和他们环地中海的环境，经常需要航海的实际需求有关系。

希腊位于半岛地形

中国古代很早就知道勾股定理，宋朝数学家秦九韶 也得出了 用三角形 三个边计算三角形 面积的公式，本质上和 西方的海伦公式是 等价的。

古代中国，也应该有测量和记录角度的方法，阴阳家看风水使用的罗盘应该西方科学技术传入以前就有了。古代每个朝代 都有 测量 和 记录 重量和长度的单位，也用十二地地支 字丑寅卯等 记录时间，但是 如何 测量和 记录 角度，就不为大众所熟知了。更没有 发展出 用 三角形 角度和长度 来进行相互计算的理论，类似于现在的 正弦定理 和 余弦定理。主要原因 还是没有实际应用需求的刺激。

一个罗盘

传统的 木匠 当需要90度的 垂直线时，用铅垂线来保证角度的正确。石匠修建石拱桥时，通过画圆弧来确定 石拱桥的曲线，陶瓷匠制作碗 和大瓮时，用转轮来制造 陶瓷的胚体，当有实际需求的场合，古人也体现出了智慧。

石拱桥的拱是一段圆弧

古代当一个城池攻不下时，常常采取挖地道的方式，钻到城墙下或城里，地道入口不能离城墙太近，否则就被敌人看见了，如果离城墙有一段距离，在挖地道时，也面临地道方向的掌握，不过这个精度要求不是很高，只要通到城里就行。

挖隧道方向掌握很重要

现代修公路铁路挖隧道，如何保证隧道的方向，挖通以后，另一头正好是预定的位置，精度要求则高的多，有了现在的技术和仪器，这些都不是事。

传统的木匠连勾股定理也很少用到，当需要确定长度时，直接测量就可以了。十八十九世纪，使用火炮的时代，当在海上和陆地上看到敌人时，需要确定对方的方向和距离，以确定火炮炮口的方向和仰角，来命中目标，这时候就不方便直接测量了，需要用三角形方法测量和计算。

一个火炮

正是实际需求的刺激，使人们认识到三角学的重要性，所以近代就有人计算和编制出了三角函数和 反三角函数 表。

勾股定理

三角形有三个边 和 三个角，平面几何中有几个判定全等的定理。比如 角边角 公理，边角边公理，边边边 定理等。根据边边边定理 ，只要三角形的三个边长固定了，那三个角的大小也就固定了，可以用余弦定理 和 反三角函数表，计算出三个角的大小。