电子书 《PLP：An introduction to mathematical proof》PLP：数学证明导论

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“本文的主要目的是教你如何写出正确且清晰的数学证明。为了学习证明的方法，我们将研究一些基础分析内容。我们会证明许多关于数集和函数的基本性质，例如：

⭐实数比整数多。

为了理解这个说法，我们需要将“多”这一概念从有限量的背景中扩展到无限量的领域，因为我们习惯了在有限量中讨论“多”与“少”。我们需要定义关于集合和函数的概念，利用逻辑来操控和组合它们。在此过程中，我们还需要认真思考如何沟通我们正在进行的数学推理，以便你和他人能够理解我们的做法。

因此，这门学科的一个关键部分是学习如何表达数学——不仅是做数学。数学不仅仅是进行计算或套用公式——这只是使用数学的一个方面。数学还包括理解和推理，最重要的是证明。理解与证明在数学中同样重要。到目前为止，你主要在进行前者，而本书的目标是帮助你在后者上更进一步。

我们必须能够向他人解释为什么我们知道的内容是真实的——这正是证明的意义所在。可以把证明看作你和读者之间的对话——你必须尽一切合理的努力让表达清晰、精确、准确。写作时始终要考虑读者。逻辑清晰、表达良好是非常重要的，这在大学和所谓“真实世界”中都是一种有用的技能。”