本文通过函数商的求导、函数乘积的求导法则及函数导数的定义法，介绍求函数y=3/(11x²+5x+1)一阶和二阶导数的主要过程和步骤，同时举例介绍一阶导数的应用。
一、多种方法求一阶导数函数商求导法：
y=3/(11x²+5x+1)
y´=[3´(11x²+5x+1)-3(11x²+5x+1)´]/(11x²+5x+1)²
=(0-66x-15)/(11x²+5x+1)²
=-3(22x+5)/(11x²+5x+1)².
函数乘积求导法：
y=3/(11x²+5x+1)，即：
y(11x²+5x+1)=3,两边同时对x求导得：
y´(11x²+5x+1)+y(22x+5)=0,
y´(11x²+5x+1)=-y(22x+5)
y´=-y(22x+5)/(11x²+5x+1),则：
y´=-3(22x+5)/(11x²+5x+1)².
导数定义法：
y´=lim(t→0){3/[11(x+t)²+5(x+t)+1]-3/(11x²+5x+1)}/t
=3lim(t→0){(11x²+5x+1)-[11(x+t)²+5(x+t)+1]}/
{t[11(x+t)²+5(x+t)+1](11x²+5x+1)}
=-3lim(t→0)(11t²+22tx+5t)/{t[11(x+t)²+5(x+t)+1](11x²+5x+1)}
=-3lim(t→0)(11t+22x+5)/{[11(x+t)²+5(x+t)+1](11x²+5x+1)}
=-3(22x+5)/(11x²+5x+1)².
一阶导数的应用
例如分别求点A(0，3),B（-5/22,132/19）处的切线。
对于点A处，横坐标x=0，则：
切线的斜率kA=-15,即：
此时切线方程为：y-3=-15x。
对于点B处，横坐标x=-5/22,则：切线的斜率KB=0,
即此时切线方程为：y=132/19。
二、函数商求二阶导数∵y´=-3(22x+5)/(11x²+5x+1)²
∴y´´=-3[22(11x²+5x+1)²-2(22x+5)(11x²+5x+1)(22x+5)]/
(11x²+5x+1)⁴
=-3[22(11x²+5x+1)-2(22x+5)²]/(11x²+5x+1)³
=-6[11(11x²+5x+1)-(22x+5)²]/(11x²+5x+1)³
=18(121x²+55x-10)/(11x²+5x+1)³.
