本文主要通过微积分的定积分知识，介绍抛物线y=2x^2+6x+8与x轴围成区域面积计算的主要步骤。

如果二次函数y=ax^2+bx+c，与x轴有两个交点，其横坐标分别为x1,x2,如下图所示，

根据定积分计算曲线围成区域面积计算公式，

则该抛物线与x轴围成区域面积S的计算步骤为：

S=∫[x1,x2](0-y)dx

=∫[x1,x2](-ax^2-bx-c)dx

=-(a/3)x^3-(b/2)x^2-cx[x1,x2]。

对于方程ax^2+bx+c=0,由二次方程求根公式及韦达定理可知：

x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a，x2-x1=√(b^2-4ac)/a,

，此时面积表达式继续化简可知：

S=-(a/3)(x2^3-x1^3)-(b/2)(x2^2-x1^2)-c(x2-x1)

=-(a/3)(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)-(b/2)(x2-x1)(x2+x1)-c(x2-x1)

=-(1/6)(x2-x1)[2a(x2^2+x1x2+x1^2)+3b(x2+x1)+6c]

=-(1/6a)*√(b^2-4ac)*[2a(x2+x1)^2-2ax1x2+3b(x2+x1)+6c]

=-(1/6a)*√(b^2-4ac)*[2a*(-b/a)^2-2a*c/a+3b*(-b/a)+6c]

=-(1/6a)*√(b^2-4ac)*(2b^2/a-2c-3b^2/a+6c)

=(1/6a^2)*√(b^2-4ac)*(b^2/a-4c)

=(1/6a^2)√(b^2-4ac)^3

对于本题，y=2x^2+6x+8，相应方程2x^2+6x+8=0，

因式分解化简为：

2(x-1)(x+4)=0，即x=-1，或者x=4，

可知与x轴的两个交点分别为A(-1,0),B(4,0)，

x1+x2=-b/a=-1+4=3，

x1*x2=c/a=-1*4=-4，

x2-x1=√(b^2-4ac)/a=4-(-1)=5,

此时抛物线y与x轴围成区域的面积S计算表达式为：

S=∫[-1,4](0-y)dx

=∫[-1,4](-2x^2+6x-8)dx

=-(2/3)x^3-3x^2-8x[-1,4]

根据上述面积通式推导，此时围成区域的面积为：

S=(1/6*2^2)√[(+6)^2-4*2*(+8)]^3

=(1/6*2^2) [(+6)^2-4*2*(+8)]*√[(+6)^2-4*2*(+8)]

=(1/6*2^2)√[(+6)^2-4*2*(+8)]^3

=7√7/3平方单位。