话说，苏格兰爱丁堡的默奇斯顿塔楼是一座方形建筑，古老的石块上布满了岁月的痕迹，几扇狭长而深邃的窗户不规则地镶嵌其上，仿佛在诉说着它的历史。
默奇斯顿城堡，爱丁堡 1454 build ｜ 图源wikipedia
塔楼的锯齿形屋顶犹如一顶王冠，使得它在岁月的侵蚀下依然显得高贵而自豪。
早在1550年，约翰·纳皮尔（John Napier）就出生在这座墨奇斯顿城堡中。
后来，他的名字不仅被冠在了这所大学上，还因为一种彻底改变了科学的数学运算而闻名于世。
约翰·纳皮尔
约翰·纳皮尔是个奇人，你必须记住他，因为他的兴趣涉猎广泛，从神学到天文学，再到数学。
坊间流传着一个关于他的逸事，虽然与数学无关，却能让我们窥见他的独特性格。
纳皮尔的邻居罗斯林（Roslin）养的鸽子经常飞到他的院子里吃谷粒。纳皮尔非常生气，警告邻居如果不管住这些鸽子，他就要把它们没收了。
邻居对此不以为然，叫纳皮尔尽管去抓。
第二天早上，纳皮尔手持一个大袋子，轻松捉住了所有的鸽子——原来，他在自家院子里撒满了浸泡过白兰地的谷粒，鸽子们吃得酩酊大醉，毫无抵抗之力。
这个故事或许只是传闻，但它告诉我们，纳皮尔善于用出其不意的方法解决问题。
有时候，只需改变视角，就能找到解决办法。
纳皮尔将这种创新思维应用到了数学上，发明了一种革命性的运算方法，使乘法变得如同加法般简单。
他发明了对数，将乘法和加法巧妙地联系起来。
通过把乘法轴和加法轴平行放置，纳皮尔创造了一个数学奇迹。
在乘法轴上，每个刻度对应前一个刻度乘以2；而在加法轴上，每个刻度对应前一个刻度加1。
这样，通过简单的图表，从加法到乘法的转换瞬间变得可能。
例如，如果你想计算8×16，纳皮尔的方法是这样的：
在加法的世界里，8×16变成了3+4；
计算3+4=7；
再把结果带回乘法世界，7变成了128。
你得到的结果是8×16=128。
再比如：
假设我们有两个数，2 和 8。你知道 2×8=16，对吧？
我们可以使用对数来简化这个计算。
首先，我们找到 2 和 8 的对数，是 1 和 3。然后，我们把这两个对数相加：1 + 3 = 4。
最后，我们把结果 4 转换回去，就得到了 16。”
这种转换看似魔术，但效果确实很好。
这种方法不仅适用于简单的数，还可以用于更复杂的乘法运算。
假设你需要计算2.43×78.35，有一本加法/乘法对照表，查找数值后，将乘法2.43×78.35变成加法1.281+6.292，几秒钟内算出和7.573，再将结果带回乘法中，得到约190.4的结果。
如此，你在不到30秒内完成了复杂的乘法运算。
你可能会问，这人是不是没事干，为啥发明一个这个东西呢？
其实和当时的背景有关，正好当年著名的天文学家开普勒。他每天都在计算行星的运动轨迹，这些计算涉及到非常大的数字，乘法和除法让他头疼不已。
开普勒总是抱怨：“如果有一种方法能让我不必做这么多复杂的计算就好了！”
就在开普勒为计算苦恼的时候，数学家约翰·纳皮尔（John Napier）正在思考一个问题：“有没有一种方法能将乘法和除法变得像加法和减法一样简单呢？”
纳皮尔经过多年的研究，终于发明了对数表。
纳皮尔花了二十多年才发展出这一理论并制作出加法/乘法表，所有计算都是手工完成的。
1614年，他发表了《奇妙的对数表的描述》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio），并首次使用“对数”这个词，来描述乘法和加法之间的桥梁。
对数表详细罗列了5400个数，通过查找这些数，可以在几秒钟内完成复杂的乘法计算。
对数表
虽然对数表的结果只是近似值，但对于当时的科学计算来说已经足够精确。
对于更复杂的乘法，只需知道1到1000的对数，通过抛弃零和小数点进行计算，就能快速得出结果。
纳皮尔的对数表极大地提高了计算效率，使得科学家们能将一整天的工作压缩到几小时内完成。
随着时间推移，更多数学家发布了更精确的对数表，这些对数表迅速传播，成为科学家、建筑师、会计师等的主要工具。
直到20世纪下半叶，计算机的出现才逐渐取代了对数表的地位。
但对数这一概念依然在科学中扮演重要角色，从地震强度的里氏震级到声音强度的分贝，再到溶液酸度的pH值和恒星的亮度等，都使用了对数标度。
例如，里氏震级中，每增加一度代表现实中振幅增加10倍，因此7级地震的振幅比6级地震大10倍。
而人类记录到的最强烈的地震，1960年智利瓦尔迪维亚地震，震级9.5，其振幅比普通的3.5级地震大一百万倍。
另一个例子是音阶，音符的特征是其振动频率。
钢琴键上的音符从低到高依次是55Hz、110Hz、220Hz、440Hz、880Hz、1760Hz和3520Hz，每两个音符相隔一个八度音程，高音符的振动频率是低音符的两倍。
吉他琴颈上的品位也按此排列，离琴头越近，音差越大。
在同一根弦上，低音la的品位与琴桥的距离是高音la的两倍。
另外，我们再补充下：
约翰·纳皮尔最初发明的对数并不是基于我们今天常用的底数（例如10或e）。
他发明的对数是一种特殊的形式，被称为“纳皮尔对数”，其底数实际上与现代常用的自然对数（底数为e）有一些关系。
具体来说，纳皮尔的对数是基于一个递减的指数函数，但它并没有明确规定一个底数。
纳皮尔的对数是以一种复杂的方式定义的，并且他的计算方法与我们今天使用的对数表略有不同。
后来，英国数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs）在1617年引入了以10为底的常用对数（常用对数，或布里格斯对数），这才使得对数的概念更易于理解和应用。
为了简单理解，可以这样描述：
纳皮尔对数：纳皮尔自己发明的对数，并没有一个明确的底数，主要用于简化复杂的乘法和除法计算。
常用对数（以10为底）：由亨利·布里格斯引入，使对数的应用更加广泛。
自然对数（以e为底）：后来由数学家们发展出，以自然常数e（约2.718）为底数的对数。
所以，纳皮尔最初发明的对数并没有一个明确的底数，更多是一种数学工具和方法的创新，而非我们今天使用的具体底数对数。
但，无论如何，所有的一切都有一个数学表达式：
（1）通用对数公式：
（2）常用对数公式：
（3）自然对数（e为底）：
总结：
约翰·纳皮尔的对数理论不仅是数学史上的里程碑，其影响深远。
尽管现代计算技术的发展已使对数表不再是主要工具，但对数这一概念依然广泛应用于科学和日常生活中。
而且我们也不能忘记这个已经被销声匿迹的工具，毕竟曾经创造过辉煌，他就和我们小时候用的磁带（以前的录音机用的）只是短暂而逝。
纳皮尔用他那独特的视角和创新思维，为后世架起了一座从乘法世界到加法世界的桥梁，使得许多复杂的问题变得简单易解。
对数不仅在数学领域焕发新生，还在众多物理现象的测量中发挥着重要作用。
