仔细看上图封面的数字排布，大家有没有发现什么规律？

如果你发现规律的话，恭喜你。但我猜测你想到的可能不会超过2种规律，如果真的超过了，说明你很厉害👍！

好，接下来我带大家一起彻底分析下这个数字三角形吧。

01 “杨辉三角”的由来

上篇我们提到过，在宋朝时期我们的古代科技就达到了巅峰时代，这很大程度其实来自数学的探索。

因为在古代，数学总是和天文学以及计时仪器相关联的，也许是有一定的数学基础，而且和外界文明的交往密切，宋代在天文学上也取得了不少成就

比如，北宋的数学家贾宪，他是世界上最早提出二项式分解计算公式的数学家之一。

这项成就在很长的时间里被归功于南宋数学家杨辉的发明，因此这项成就在过去被称为“杨辉三角形”，后来在大英博物馆所藏的《永乐大典》中发现贾宪的《释锁算术》中已经有了这项发现。

贾宪三角形

基本情况就了解到这了，接下来看看数学知识，大家了解即可。

02 概率论方面

我觉得关于二项式，以前看到这个词都会避而不见，总觉得难得一批。但现在不会这么想了，如果仔细研究的话，这玩意真的很有趣！

甚至有时候我会发现，它能和宇宙的奥秘打通关系呢。

其实，关于“杨辉三角”的概念已经在全世界被研究了一千多年。

在伊朗，它也被称为卡亚姆三角，在许多“西方世界”中，这个数学结构被称为帕斯卡三角形，这归功于法国数学家布莱斯•帕斯卡(Blaise Pascal)对其进行的深入研究。

帕斯卡利用这个三角形来解决概率论中的许多问题，记住这个非常重要！

比如，在概率论中，我们经常需要计算组合数。

例如，假设你有10张牌，从中抽取3张，不考虑顺序，那么有多少种不同的抽取方式呢？

这个问题可以通过帕斯卡三角形来解决，具体来说，就是查找第10行第3列的数字。

而且，帕斯卡三角形与二项分布有着直接的联系。

二项分布描述了n次独立实验中成功k次的概率。

例如，在抛掷硬币的实验中，如果硬币出现正面的概率是p，那么经过n次抛掷后恰好出现k次正面的概率可以用二项式定理表示：

其中，n和k是帕斯卡三角形中的二项式系数。

03 二项式系数

帕斯卡三角形中的数字被称为二项式系数，它们代表了从 n 个物体中选择 k 个的方法数。

举个例子，有6种方法可以从4个对象中选择2个，这对应于帕斯卡三角形的第4行和第2列的位置（从0开始计数）。

你可能还记得基本代数中的一些公式，例如：

帕斯卡三角形的第二行和第三行中的系数正是这些公式中的系数，这绝非偶然。

这种现象在数学上被称为二项式定理，它在一般情况下都成立。所以老师以前让我们默写二项式公式，如果记住这个三角形就可以啦。

帕斯卡三角形中最基础的图案之一是沿着三角形边缘排列的1。

与这些边缘平行的，是自然数序列1, 2, 3, 4, 5, ...。

再往三角形内的一条平行线中，你会找到三角数：1, 3, 6, 10, 15, 21, ...。

这些数字可以排列成一个三角形，并且可以通过对自然数进行累加得到。

例如，数字10是通过1 + 2 + 3 + 4得到的，它表示一个三角形状的球的数目。

在帕斯卡三角形中，第三条平行线是四面体数列，从1, 4, 10, 20, ...开始。

这些数字表示的是四面体形状（即三角形底部的金字塔）的球数。

这些模式在三角形中以其独特的方式继续存在，展示了数学之美的多样性。

04 幂

帕斯卡三角形的一个有趣特性是，每个“方向”都能生成一个新的图案。例如，如果你将每一行的数字相加，你会得到2的幂数：

1, 2, 4, 8, 16, ...

相应的公式可以通过二项式定理证明，展示了数学中的一致性和逻辑之美。

05 曲棍球棍定理

帕斯卡三角形还有一个令人惊讶的性质：如果你沿对角线将数字相加，然后再向边上移动一步，你会得到对角线数字的总和。

下面的图示对此进行了解释：

曲棍球棍定理图示

这个小练习展示了帕斯卡三角形中的另一种模式，进一步揭示了数学中的巧妙关联。

06 数学分形

如果我们对帕斯卡三角形进行模2运算（将偶数变为0，奇数变为1），我们会得到一个令人惊叹的图案。

通过这种方式，我们可以将帕斯卡三角形转化为谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle），这是一个著名的分形。

三角形展示了分形的无限复杂性，即使从最简单的数学结构中也能发现如此复杂和美丽的图案。

看一下动图：

GIF from Wikimedia Commons

07 二进制数的奥秘

如果我们把帕斯卡三角形中的数字减去mod 2，那么我们就得到了一个特殊版本的三角形：

图源 aperiodical.com

如果我们将每一行看作一个二进制数，我们会得到一个有趣的序列：1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257... 这个序列乍一看似乎没有明显的规律，但如果将每个数字分解为质因数，我们会发现：

1

3

5

15 = 3 * 5

17

51 = 17 * 3

85 = 17 * 5

255 = 17 * 3 * 5

257

这个规律是通过将前面的数字组合相乘来生成下一个数字。

这里的质数不仅是费马质数（形如2^(2^n) + 1的质数），而且这条序列中是否包含无限多个质数至今仍是一个未解之谜。

08 斐波那契数列的隐藏

斐波那契数列在自然数中无疑是明星。

这个序列从1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... 开始，后续的每一个数字都是前两个数字之和。这一序列与黄金分割比φ有着密切的联系。

更有趣的是，斐波那契数列也隐藏在帕斯卡三角形中。如果你对如下图所示的对角线求和，你会得到斐波那契数列：

这无疑是数学中的另一个奇迹。用二项式系数来证明这一点是一个非常有趣的数学练习，甚至可以通过数学归纳法来完成。

总结：

总之，关于帕斯卡三角形中的模式还有很多等待我们去探索。

事实上，直到今天，数学家们还在发现新的模式。这种数学之美是无穷无尽的，不断给予我们新的惊喜。

谁知道我们在第一百万行帕斯卡三角形中会发现什么？

我只能说，之前小看它了！