已知x²+y²=1,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)²的最大值的步骤。

本文用到的主要公式：

1.(sint)²+(cost)²=1。

2.正数a,b有不等式：a²+b²≥2ab。

3.(a±b)²=a²±2ab+b²。

因为(x-y)²=x²+y²-2xy

又：(x+y)²=x²+y²+2xy

所以两式相加得：

(x-y)²+(x+y)²=2(x²+y²),

等式变换得：

(x-y)²=2(x²+y²)-(x+y)²

即：(x-y)²≤2(x²+y²)=2。

则(x-y)²的最大值=2。

设x=sint,y=cost，则：

(x-y)²

=x²-2xy+y²

=(sint)²+(cost)²-2sintcost

=1-sin2t

即：(x-y)²的最大值=1*[1-(-1)]=2。

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x²+(x-t)²=1

x²+x²-2xt+t²-1=0

2x²-2xt+t²-1=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t²-8(t²-1)≥0，即：

t²≤2，故(x-y)²=t²的最大值=2。

设x²=1/2+t,y²=1/2-t,

代入所求代数式得：

(x-y)²的最大值

=x²-2xy+y²,当xy乘积为负数时，有最大值。

=1/2+t+2√[(1/2+t)(1/2-t)]+1/2-t

=1+2√[(1/2)²-t²]

≥1+1=2。

因为(x-y)²=x²-2xy+y²

=1-2xy.

则当x，y异号时，(x-y)²有最大值。

又因为:

x²+y²=1≥2xy,

则2xy的最小值=-1。

所以(x-y)²的最大值=1-(-1)=2。