著名教育家叶圣陶说过，老师对学生是极有帮助的。所谓帮助，主要不在于传授知识，而在于引导学生自己去求得知识，也就是引导学生自己去发现问题，自己去解决问题。 布鲁纳认为，学习一间学科不仅是"学会什么"，更重要的是"知道怎样处理”，即"学会如何学习"。 他指出，"我们教一门科目，并不希望学生成为该科目的一个小型图书馆，而是要他们参与获得知识的过程。 学习是一种过程，而不是结果。"在布鲁纳看来，学习的过程就是一个探索知识的过程。他强调说:"人类学习中似乎有个必不可少的成分，它像发现一样，是尽力探索情景的机会。" 《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”

01 发现学习实验 布鲁纳是美国哈佛大学心理学教授，他曾经设计过一个发现学习的教学实验。布鲁纳实验的目的在于引导8岁的儿童发现二次方程式的因式分解规律。 在实验开始后，布鲁纳首先让儿童玩熟悉且表示数量的积木块：大正方形（X×X）、长方形（1×X）、小正方形（1×1）。这是一个获得知觉经验的过程。 然后，儿童会在老师的提问和引导下，按照要求搭成一个比一个大的正方形，这是一个需要不断进行各种探究、操作、记录并对照的过程。 在这个过程中，儿童会逐渐掌握以下的重要规律： X×X+2×X+1=（X+1）（X+1） X×X+4×X+4=（X+2）（X+2） X×X+6×X+9=（X+3）（X+3） X×X+8×X+16=（X+4）（X+4） X×X+10×X+25=（X+5）（X+5） 当X以2,4,6,8,10……的比例递进，另一行的增加是1,4,9, 16,25……时，则方程的右边的数字是以1,2,3,4,5……递进。

02“发现学习”理论 20世纪50年代末，在美国为了应对苏联发射了第一颗人造地球卫星而召开的关于改革理科教育的伍兹霍尔会议上，美国著名认知心理学家杰罗姆·布鲁纳(Jerome Bruner)作了会议的总结性报告，归纳并发表了《教育过程》一书。在书中布鲁纳对“发现法”进行了详细的论述。 布鲁纳提出了“发现学习”的认知模式和理论，所谓发现学习就是指学习者通过独立学习、独立思考的方式，自行发现知识并掌握原理原则。也就是说，学习者所学习的知识是自己发现的。 他强调，学生在校学习的目的是“学习不但应该把我们带往某处，而且还应该让我们日后再继续前进时更为容易”。基于这种认识，布鲁纳极力倡导发现学习法，并注重理论分析。 发现不同于发明。例如，在化学实验室内，学习者可能会发现一条有关化学知识的原理，而这个原理早就被职业化学家所熟知。由于这个原理事先没有人告诉过学习者，而学习者也没有从书本上看到过。所以，这条原理就属于学习者的发现。而且，由于这条原理是学习者通过自己的努力所发现的，所以要比学习者学习别人的发现理解得更深刻，记忆得更牢固。 布鲁纳的这个“发现学习”原理是吸取了德国格式塔心理学理论和瑞士皮亚杰的发展心理学学说而形成的。 在布鲁纳看来，发现学习就是在学校条件下，引导儿童从所见的事物的表面现象去探索具有规律性的潜在结构的一种学习途径。

03促进发现学习的方法 在教学中，采用何种方法能启发学生用自己的头脑去获得知识呢？ 布鲁纳主张教学采用“探究──发现”式方法，引导学生像科学家那探求知识，而不是被动地接受教师的灌输不论是在校儿童凭自己的力量所做出的发现，还是科学家致力于日趋尖端的研究领域所做出的发现，按其实质来说，都不过是把现象重新组织和转换，使人能超越现象再进行组合，从而获得新的领悟而已。

布鲁纳进一步研究并提出了促进发现学习的方法： 一是鼓励儿童积极思考和探索。 布鲁纳认为，儿童是发现学习的主体，因此，应鼓励儿童相信并依靠"自己的头脑"去思考、发现和解决问题。 二是激发儿童学习的内在动机。 布鲁纳认为，内在动机，特别是能力，是儿童学习的推动力，应启发儿童把学习与日后的生活联系起来，以发现为奖励，自主地学习，逐步培养和形成学习的行为和习惯。 三是注意新旧知识的相容性。 布鲁纳认为，采用灵活多样的教学方法，创造良好的学习情景，促使学生发现新旧知识之间的内在联系，并把新知识纳入自己已有的知识结构，成为自己的知识。 四是培养学生运用假设、对照、操作的发现技能。 布鲁纳认为，培养学生发现的技能，不仅有助于学生对所学的知识进行有效的组织，有助于其运用所学的知识解决问题，而且有利于提高学生的思维能力，实现发现学习。

著名数学家弗莱登塔尔认为，数学教学方法的核心是学生的“再创造”，因此，数学课应当展现一个“再创造”“再发现” 的过程，展现一个充满探索与交流、猜测与验证的活动过程，使学生获得“感知——发现——创造”的体验，了解和掌握认知活动的规律、特点与过程。 异曲同工之妙，弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。 在运用“现实的数学” 进行教学时，必须明确认识以下几点： 第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容． 第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去． 第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。

弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。 现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。 对于前者，基本流程是： 1、确定一个具体问题中包含的数学成分； 2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系； 3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化； 4、找出蕴含其中的关系和规则； 5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； 6、作出形式化的表述。 对于后者，基本流程是： （1）、用数学公式表示关系； （2）、对有关规则作出证明； （3）、尝试建立和使用不同的数学模型； （4）、对得出的数学模型进行调整和加工； （5）、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； （6）、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法； （7）、作一般化的处理、推广。 布鲁纳的理论提示人们：教育过程是一个掌握知识和发展能力并重的过程，要正确认识和处理知识、技能和智力三者之间的关系。通过提倡发现学习的方法来提高学生解决问题的能力，并认为在发现学习中应使用一定的策略。这样，布鲁纳就把知识、技能和智力统一起来，为探索三者的关系作出了杰出的贡献。因此，发现学习理论将在我国新课程改革中占有重要地位。