设g(y)=38y⁴+75y³,将y看成自变量，求导有：

g'(y)=4*38y³+3*75y²=y²(4*38y+3*75),

令g'(y)=0，则y₀=-3*75/(4*38)=-225/152≈-1.48,此时：

(1)当y∈(-∞，-225/152)时，g'(y)＜0，此时g(y)随y的增大而减小；

(2)当y∈(-225/152,+∞)时，g'(y)＞0，此时g(y)随y的增大而增大。

则y₀处有最小值，即：

g(y)=53x≥g(-225/152)=(-225/152)³(-38*225/152+75),

则：x≥-(3³*75⁴)/(4⁴*38³*53)≈-1.1475，所以：

曲线方程的定义域为：[-1.1475，+∞）。

38y⁴+75y³=53x，

对方程两边同时对x求导，得：

152y³y'+53y²y'=53

(152y³+53y²)y'=53

y'=53/[y²(152y+53)].

导数y'的符号与(152y+53)的符号一致。

曲线方程的单调性为：

(1)当y∈(-∞，-225/152)时，y'＜0，此时曲线方程y随x的增大而减小；

(2)当y∈(-225/152,+∞)时，y'＞0，此时曲线方程y随x的增大而增大。

∵y'=53/[y²(152y+53)]，

∴y＂=-2*53[y'(152y+53)+75yy']/[y²(152y+53)]²

=-6*53[(75y+75)y']/[y³(152y+53)²]

=-6*53²(75y+75)/[y⁵(152y+53)]³

则y＂的符号与(75y+75)y(152y+53)的符号一致。三个零点分别为y₁=-225/152≈-1.48,y₂=-75/76≈-0.99,y₃=0.曲线方程的凸凹区间为：

(1).当y∈(-∞，-225/152)∪(-0.99,0）时，y＂＞0，此时曲线方程y为凹曲线；

(2).当y∈[-225/152,-0.99]∪[0,+∞）时，y＂＜0，此时曲线方程y为凸曲线。