函数y=7x³+78lnx的图像示意图

主要内容：

本文主要介绍函数的y=7x³+78lnx的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数计算函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数lnx，有x>0，所以函数y=7x³+78lnx的定义域为：（0，+∞）。

※.函数的单调性

因为函数y1=78lnx在定义域上为增函数，函数y2=7x³为三次函数也为增函数，所以二者的复合函数y=7x³+78lnx在定义域上为增函数。

本题还可以通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下。

y=7x³+78lnx，对x求导，有：

dy/dx=3*7x²+78/x，可知：

当x∈(0，+∞)时，dy/dx>0，函数为增函数。

※.函数的凸凹性

对dy/dx=3*7x²+78/x继续求导数，有：

d^2y/dx^2=6*7x-78/x².

令d²y/dx²=0，则6*7x-78/x²=0，

求出x=(1/7)³√637≈1.23，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈(0, (1/7)³√637]时，d²y/dx²<0，函数为凸函数;

(2)当x∈((1/7)³√637,+∞)时，. d²y/dx²>0，函数为凹函数.

※.函数的极限

Lim(x→0) 7x³+78lnx=-∞；

Lim(x→+∞) 7x³+78lnx=+∞；

※.函数的五点图

※.函数的示意图

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