这篇我们说导数

在高考数学中，导数部分是非常难的。

但也有基础题，基础题一定要抓住！

基础题靠的是【熟练度】、【不出错】。

上图这道题就是基础题。

我们来做做看，顺便利用它串起一些知识点。

01

基本讲解

第一问：求切线方程。

要求切线方程，我们首先要明白：

它是一条直线；求直线方程需要斜率和一个点；斜率就是这个点的导数值；点则需要(x、f(x)).

知道这些我们就可以开始算了。

首先，我们求斜率，也就是x＝0处的导数值。

要求斜率，我们得知道如何求导。

在高中部分我们只需要知道初等函数的求导方法，根据方法，书本上也总结了一些公式——要记熟哦。

如何求“导函数”，也就是导数？

除此之外，我们还要知道复合函数的求导法则。

这些也需要记熟练。

熟记这些后，就可以求导了。

（注意：我们说数学需要背诵的东西很少，通过做题可以熟悉概念。

但有时候题目不能完全覆盖，你要刻意的去记一些东西，然后再在题目中去演练。

所以，平时总结一下，早读的时候拿着笔记适当背一下。）

求导之后，我们看看x＝0对应的导数值。

很显然，导数值为0，也就是斜率为0。

那么这条直线肯定平行于坐标轴。

此时x＝0处的y值是1，也就是说切线方程为y＝1。

第二问，求最大值和最小值

要求函数在区间上的最大值和最小值，我们要判断：

函数在这个区间内是增函数还是减函数；增函数的话，可以判断区间内的最小值；减函数的话，可以判断区间内的最大值；在一个区间有增有减，那么既有最大值也有最小值。

如何判断函数增减性呢？

用导数。

导数大于零，原函数在这个区间内是增函数；导数小于零，原函数在这个区间内是减函数。

现在我们就来看一下导数——乍一看不好判断。

注意：对于这种不好判断的导数，我们通常设一个函数，再导一次。

放心，通常再导一次就好判断了。

（也有需要导两次的题目，遇见了算你倒霉。）

函数在某一区间内，单调递减也就意味着它在这里边有最大值。

h(x)在区间内单调递减，也就等价于h(x)＜h（0）。

别忘了h(x)是我们设的函数。

现在我们通过这层关系再来到原函数和它的导数。

很显然，原函数的导数在这个区间里也是小于零的。

于是，原函数这个区间内单调递减。

这样，原函数在此区间最大值和最小值我们就可以算出来了。

好，我们回顾了导数的一些知识点，计算了一道题。

02

延伸与示例

其实题目答案是最不重要的东西，思路和方式是我们一定要把握的。

你会发现，某一个知识点，考察的方式无外乎：

拿着几个知识点反复组合，而每一种组合都有其展现方式。

把握了这些，题目再变也不怕了。

下面再看一道题。这道题变了说法，组合了：

求导、区间判断。直线垂直——说切线方程和某一条直线垂直，垂直意味着它们的斜率相乘为-1。极值点——函数的极值点，也就是它的导数值为零的点。极值点与区间——判断一个导数，在极值点左右的增减，可以判断这个极值点是最大值还是最小值。

这几个知识点。

换汤不换药。

你看，无非是知识点组合。

只不过，在有些比较难的题目中——所谓的压轴题，组合的深度会更上一层楼。

会进行一些嵌套。

但基本的路数是一致的，无非就是进行多回合的嵌套。

下面我们举个例子来看看。

03

再难一些的题目

比如这道题。

第一问就不过多讨论了，我们讲过思路。

在这里有一个点之前没有明说，现在说一下，那就是：“直线方程点斜式表达法”。

体现在这道题里是：

求出点和斜率，带入点斜式，得出直线方程。

第二问就比较难了。

但基本没变，我们来分析一下。

讨论h(x)的单调性和极值，我们还是要判断它的导数。

那么我们先写出h(x)表达式，求出其导数。

写出导数后，导数的正负不好判断了。

这时候，就像第一部分里说过的，再设一个函数，再求导——第一层嵌套。

到这儿我们还是不能判断h(x)的单调性，我们只能判断m（x)的单调性。

因为这里有两个部分，牵扯到未知数a，a我们也得讨论。

所以我们要分步——第二层嵌套。

通常含有a这样的数，我们在因式分解的时候就注意把它分在一边，作为一个部分。

同时，当你看到函数中有这类数时，就应该敏感地意识到，你需要分类讨论了。

我们需要讨论a的取值对导函数正负的影响。

a≤0还是很好判断的。（如下图）

a＞0的情况不好判断。

这时候，我们可以算出导函数等于0的点——也就是函数的极值点。

在极值点划分开的区间里，再分别讨论原函数的增减性——第三层嵌套。

下面看第二种情况，a＝1时。

这种情况没有极值。

还没完，我们还要讨论第三种情况，a＞1。

好了，写完了了。

你看，3层嵌套，知识点还是那些，只是复杂了一些。

请注意：复杂和难不是一个概念：

难是你当下没有技术，你连理解都理解不了——干着急也没有办法，你目前就是解决不了，你需要学习、进步；复杂是每一步你都明白，就是太多步了互相牵制——这时候最重要的就是耐心，然后当下这一刻，抓住当前的线头，一点点扯。

所以，遇到大题不要慌，其实每个点你都知道，都学过。

只是你不知道如何把这些知识点综合运用上。

办法是：

平时总结、遇题不慌、一点点捋。

我知道这挺费时间的，所以这也是平时练习的意义所在：

尽量快速识别题目、书写题目。

说到这儿，忍不住鸣不平：

单单是把这些写下来，就好费劲。

想想看，我们山河四省的学生要想考个好大学，硬生生是要剥几层皮的。

本文结束，谢谢阅读。