分数函数y=1/x(21x^3+2)主要性质归纳
主要内容：介绍分数函数y=1/x(21x^3+2)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间。
函数定义域及值域：因为y=1/x(21x^3+2)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，
且21x^3+2≠0，则x≠-3√(2/21)≈-0.45.
函数的定义域为(-∞，-0.45)，(-0.45，0)，(0，+∞)。
由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。
函数的单调性：由y=1/x(21x^3+2)，对x求导得：
dy/dx=-[(21x^3+2)+x*63x^2]/[x(21x^2+2)]^2,
dy/dx=-(84x^3+2)/[x(21x^2+2)]^2,
令dy/dx=0，则84x^3+2=0,即x=-3√1/42≈-0.28.
判断函数的单调性如下：
(1)当x∈[-0.28，+∞)时，dy/dx>0，此时函数y为增函数。
(2)当x∈(-∞, -0.45), (-0.45, -0.28)时，dy/dx<0,此时函数y为减函数。
函数的凸凹性：由dy/dx=-(84x^3+2)/[x(21x^3+2)]^2，再次对x求导得，
d^2/dx^2
=-{252x^2[x(21x^3+2)]^2-2(84x^3+2)[x(21x^3+2)](21x^3+2+63x^3)}/[x(21x^3+2)]^4，
=-[252x^3(21x^3+2)-2(84x^3+2)(84x^3+2)]/[x(21x^3+2)]^3,
=-2[126x^3(21x^3+2)-(84x^3+2)^2]/[x(21x^3+2)] ^3,
=4(2205x^6+42x^3+2)/[x(21x^3+2)]^3,
对g(x)=2205x^6+42x^3+2,看做为x^3的二次方程，其判别式为：
△=42^2-4*2205*2<0,即g(x)图像与x轴无交点，且g(x)>0,可知，
二次导数的符号取决于分母的符号。
(1)当x∈(-∞，-0.45)，(0，+∞)时，d^2/dx^2>0，此时函数y为凹函数；
(2)当x∈(-0.45，0)时，d^2/dx^2<0,此时函数y为凸函数。
函数的极限:lim(x→-∞) 1/x(21x^3+2)=0，
lim(x→0-) 1/x(21x^3+2)=-∞，
lim(x→0+) 1/x(21x^3+2)=+∞，
lim(x→+∞) 1/x(21x^3+2)=0，
lim(x→-0.45-) 1/x(21x^3+2)=+∞，
lim(x→-0.45+) 1/x(21x^3+2)=-∞。
函数的奇偶性因为f(x)=1/x(21x^3+2),
所以f(-x)=1/{(-x)*[21(-x)^3+2]}=-1/x(-21x^3+2)，即：
f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)；
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数。
