单个函数的性质及图像画法步骤应用举例（11）：

导数解析函数y=19x^2-17/7x^2的性质及图像示意图

本文主要介绍偶函数y=19x^2-17/7x^2的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数解析函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

根据函数的特征，函数y1=17/7x^2为分式函数，自变量在分母，则要求x≠0，所有函数的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）。

本例使用导数知识来介绍函数的单调性，并求求解单调区间。

∵y=19x^2-17/7x^2,

∴y'=38x+17*2x/7x^4=38x+34/7x^3=2(19x^4+17)/ 7x^3,可知：

(1)当x＞0时，y'＞0，此时函数y为增函数；

(2)当x＜0时，y'＜0，此时函数y为减函数。

∵y'=2(19x^4+17)/7x^3，对x继续求导有：

∴y''=2[4*19x^3*x^3-(19x^4+17)*3*x^2]/7x^6,

=2[4*19x^4-3(19x^4+17)]/7x^4,

=2(19x^4-51)/ 7x^4，令y''=0，则有19x^4-51=0，即可求出x^4=51/19.

进一步求出x1=-(1/19)*4√349809≈-1.280，x2=(1/19)*4√349809≈1.280，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈[-(1/19)*4√349809，(1/19)*4√349809]时，y''＜0,则函数y为凸函数；

(2)当x∈(-∞，(1/19)*4√349809)∪((1/19)*4√349809，+∞)时，y''＞0,则函数y为凹函数。

Lim(x→-∞) 19x^2-17/7x^2=+∞

Lim(x→+∞) 19x^2-17/7x^2=+∞

Lim(x→0+) 19x^2-17/7x^2=-∞

Lim(x→0-) 19x^2-17/7x^2=-∞

因为f(x)=19x^2-17/7x^2,

所以f(-x)=19*(-x)^2-17/7*(-x)^2=19x^2-17/7x^2=f(x),

则该函数为偶函数。