单个函数的性质及图像画法步骤应用举例（12）

函数y=ln[2x+√(10x^2+52)]的图像性质

本文主要介绍函数y=ln[2x+√(10x^2+52)]的定义域、单调性、极限等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间，简要画出函数的图像示意图。

根据函数特征，对于自然对数函数有2x+√(10x^2+52)＞0，

(1)当x≥0时，不等式恒成立；

(2)当x＜0时，不等式变形有：

√(10x^2+52)＞-2x，对不等式两边平方，

10x^2+52>2^2x^2，即-6x^2<52，此时不等式恒成立。

综上所述，该函数的定义域为：(-∞，+∞)。

因为y=ln[2x+√(10x^2+52)]，对x求导有：

所以dy/dx=[2+10x/√(10x^2+52)]/ [2x+√(10x^2+52)]

=[2√(10x^2+52)+10x]/{√(10x^2+52)*[2x+√(10x^2+52)]}

令2√(10x^2+52)+10x=0，则x=-6√195/15≈-1.862。

此时函数的单调性及单调区间如下：

(1) 当x∈(-∞，-6√195/15)时，dy/dx<0，此时函数为减函数；

(2) 当x∈[-6√195/15，+∞)时，dy/dx＞0，此时函数为增函数。

Lim(x→-∞)ln[2x+√(10x^2+52)]=ln(√52)≈1.98，

Lim(x→+∞)ln[2x+√(10x^2+52)]=+∞。