单个函数的性质及图像画法步骤应用举例（13）

函数y=5/(4x+19)^2的主要性质与图像

本题主要介绍函数y=5/(4x+19)^2的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间。

该函数y=5/(4x+19)^2为分式函数，要求分母不为0，

因为4x+19≠0，则x≠-19/4,故函数的定义域为：

(-∞,-19/4)，(-19/4,+∞)。

因为函数为分式函数，分子为常数，所以函数的单调性与分母函数的单调性相反。

对于分母函数g(x)=(4x+19)^2，为二次函数，单调性与二次函数的开口和对称轴有关系，函数y=f(x)单调性与g(x)单调性相反。

此时g(x)开口向上，其单调性为：

(1)当x∈(-∞,-19/4)时，即在对称轴左边，此时函数g(x)为单调减函数。

(2)当x∈(-19/4,+∞)时，即在对称轴右边，此时函数g(x)为单调增函数。

所以，根据复合函数单调性质，可知y=5/(4x+19)^2的单调性如下：

(1)当x∈(-∞,-19/4)时，函数y为单调增函数。

(2)当x∈(-19/4,+∞)时，函数y为单调减函数。

因为y=5/(4x+19)^2，对x求导，所以有：

dy/dx=-2*20*(4x+19)^1/(4x+19)^4

=-40/(4x+19)^3，

该一阶导数的间断点为x=-19/4，

此时单调性及单调区间为：

(1)当x∈(-∞,-19/4)时，分母<0，则导数dy/dx>0,此时函数y为单调增函数。

(2)当x∈(-19/4,+∞)时，分母>0，则导数dy/dx<0,此时函数y为单调减函数。

由dy/dx=-40/(4x+19)^3得：

dy/dx=-40*(4x+19)^ (-3)，再次对x求导，有：

d^2y/dx^2=-40*(-3)*(4x+19)^(-4)*4

=480(4x+19)^(-4),

则d^2y/dx^2=480/(4x+19)^4，

可知，d^2y/dx^2>0，所以：

当 (-∞，-19/4)，(-19/4,+∞)时，函数y为凹函数。

lim(x→-∞) 5/(4x+19)^2=0；

lim(x+→-19/4) 5/(4x+19)^2=+∞；

lim(x-→-19/4) 5/(4x+19)^2=+∞；

lim(x→+∞) 5/(4x+19)^2=0。