二维流形和三维欧氏空间中的曲面有以下区别：

定义范畴：二维流形是一个较为抽象广泛的拓扑概念，是局部同胚于欧氏空间的 Hausdorff 空间 ，它强调的是局部具有欧氏空间的性质以及特定的拓扑结构，不依赖于嵌入到更高维空间中去定义，可以独立存在。例如，地球表面可看作一个二维流形，在地球的任何点都能找到小区域，看起来像平坦地图，这体现了局部同胚于二维欧氏平面的性质。而三维欧氏空间中的曲面，是在三维欧氏空间这个特定背景下定义的，是三维空间中的一个子集，依赖于三维欧氏空间的度量和几何结构。

表现形式：二维流形不一定非要嵌入到三维欧氏空间中才能被定义和理解，它可以在更高维空间中以各种复杂的方式存在，也可以是抽象的不依赖于具体高维空间的对象。而三维欧氏空间中的曲面明确是存在于三维欧氏空间内的，其形状和性质会受到三维空间的限制和影响，并且可以通过三维空间的坐标系统（如直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等）来直观描述和展现 。关于坐标系：二维流形难以建立统一坐标系，比如球面上建立全局二维坐标系会出现坐标奇点或重叠问题，通常在每点附近建立局部坐标系，这些局部坐标系在各自邻域有效且转换光滑，如球面上用半球坐标系或两极投影坐标系 。三维欧氏空间中的曲面同样不一定有统一坐标系，复杂曲面也常采用局部参数化来描述，借助参数化技术为其建立相应坐标系，简单的可建立统一坐标系（如平面），复杂的要用多片参数化，将曲面分片并在各分片建局部坐标系，相邻坐标系光滑过渡且通过迁移函数关联 。所以在坐标系的构建和使用上，二者有相似之处 。流形虽然可以在局部建立坐标卡，但不同局部坐标之间的转换可能很复杂，不存在一个能适用于整个流形的单一坐标表示，这就使得基于统一坐标的常规求导方法难以直接应用。