图1

方程左边是对第i个坐标求导，方程右边是获取第i个坐标的坐标值，两者相等。

这里解释一下图1这个常微分方程组怎么得到的：

那么，第一步中的切向量方程又是怎么得到的呢？

这个等式看起来有点像全导数公式，但其实不是，而是基于流形上曲线切向量在局部坐标下的表示方法，具体解释如下：

这一步中，

关于坐标函数的解释：

坐标函数不仅仅是为了获取后面函数的坐标。更重要的是，它是在局部坐标下描述曲线的关键工具，通过坐标函数可以将流形上抽象的曲线与我们熟悉的欧氏空间中的函数联系起来，方便进行分析和计算。借助坐标函数及其导数，能够定义和研究曲线的切向量、流形上的向量场与曲线的关系等重要概念。例如在研究向量场的积分曲线时，坐标函数及其导数在建立常微分方程组等方面起到了基础性的作用，帮助我们深入理解流形的几何和分析性质。

图1中将切向量场转化为常微分方程组，这种转换应该是流形理论获得成功的关键之一。