此前发布了一道小学数学竞赛：求直角三角形内两直角边与对应顶点连线的夹角！此题超纲嫌疑非常大，不少同学束手无策，无奈交白卷！

小学数学竞赛题：如图一，

图一

点E、F分别在直角三角形ABC的两直角边BC和AC上，AC=BE，AF=EC，求∠APF。

一、题意分析

若直接求∠APF，很难使用已知条件AC=BE和AF=EC，换言之，这两个条件难以直接用于求∠APF！需将∠APF转化或化归为与之等价或相等的角度问题。

常见的化归方法和工具无外乎：可推出角度相等的三角形相似、三角形全等、平行线等！

此题求解比较适用的化归媒介工具：平行线！

需使用的超纲知识：平行线内错角相等！

难点：恰当的辅助线！

二、解析：作平行线+内错角相等

①将直线AE沿直角边AC往下平移至点A与F重合，平移后的AE记为FE'，连接BE'，如图二

图二

②显然，AE=FE'且AE⫽FE'，即EE'FA为平行四边形。

③注意到CE=AF、AC=BE，则直角△BEE'可由△ACE绕点E逆时针旋转90°后、再竖直向下平移得到。故BE'=AE。从而BE'=FE'。

④注意到∠BE'E=∠AEC，∠EAF=∠EE'F。

故∠BE'F=∠BE'E+∠EE'F=∠AEC+∠EAF=90°。因此，△BE'F为等腰直角三角形。

⑤由平行线内错角相等，可知∠APF=∠PFE'=45°。如图三

图三

上述解析也可理解为，过E作BC的垂线EE'使得EE'=AF，再利用△BEE'与△ACE全等来完成求解。

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