已知a+b=1,求ab的最大值

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法等方法计算ab在a+b=1条件下的最大值。

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(1-a)

=-a^2+a

=-1(a-1/2)^2+1/4，

则当a=1/2时，ab有最大值为1/4。

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+b=1,

a+p/a=1,

a^2-a+p=0,对a的二次方程有：

判别式△=1-4p≥0,即：

p≤1/4,

此时得ab=p的最大值=1/4。

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+b=1，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=(cost)^2，b=(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*(sint)^2,

=1/4*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=1/4。

设a=1/2+t,b=1/2-t，则：

此时有：

ab=(1/2+t)(1/2-t)

=(1/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤1/4,

则ab的最大值为1/4。

当a，b均为正数时，则：

∵a+b≥2√ab,

∴(a+b)^2≥4*ab,

1≥4*ab,

即：ab≤1/4,

则ab的最大值为1/4。