最近，看到普特南数学竞赛试题(试题见后，不过是英文的)，关于普特南数学竞赛，这里简单介绍一下：

普特南数学竞赛是美国大学生数学竞赛，由美国数学会举办，是世界上最早的大学生数学竞赛。普特南曾在美国著名的哈佛大学数学系任职（后来当过校长），1933年退休,1935年逝世。他的夫人、孩子和普特南的生前好友、数学家G.D.伯克霍夫一起商定,用他留下的一笔基金举办一个数学竞赛,并设立“普特南奖学基金会”,奖励竞赛中的优胜者。第一届竞赛于1938年4月16日举行,以后除1943—1945年因第二次世界大战间断3年外,每年都举行一次竞赛。

自1960年以后，普特南数学竞赛一般安排在每年的12月，两场考试分别分上午(A试)、下午(B试)进行，各三小时，两试的难度无区别，每试6道题(前15届是7道题，选作6道)，每题10分。2024年普特南数学竞赛于当地时间12月7日举办，其中B试的第三题题目如下：

这道题目其实多少类似2005年天津高考数学压轴题最后一问：

可以看到，天津这道题最后一问其实是tanx=-x的零点。当然，这道竞赛题目解答起来要比天津这道高考题目复杂一些，下面分享两位网友解答过程：

不过这位网友在输入时有两处笔误，一处是第4行应该是r(n+1)-r(n)-pi>0，另一处就是第5行的两角差的正切公式写错了，不过整个思路没有问题。

另一位网友的解答先证明了一个引理，然后利用引理来解答：

最近笔者还看到一个关于函数f(x)=tanx-x的零点渐近展开的材料，感觉上面的两个题目应该都是这个背景。

其实天津的模拟题中也出现过类似的，具体可以参见笔者之前文章《2023届天津一中高三第三次月考压轴题分析及整套试卷》。

之前有我国的高考题目是改编自普特南数学竞赛题目，这道题目如果适当地改编一下也可以作为一道不错的高考题目。最后附上整套试题：