2025届天津一中高三二月考第19题是一道数列题，题目如下：

这道题目从风格上看像是全国一些地区的新定义题目，但笔者认为这道题目其实告诉25届高三考生和其它年级同学很多有用的信息，下面就来简单分析一下。先来看下面一段材料：

可以看到，上面这则材料就是开头题目的条件和第三问的来源，无论是给出的条件还是题目的设问方式都高度相似。唯一有点不同的是这里的材料不是直角三角形，而开头题目把这个变成直角三角形，其实还是简化了这里的探究问题，并且这个材料已经告诉我们如何解答开头题目的第三问了。

上面提到的材料是来自下面这个选修教材：

这个教材是上一版本的选修教材，不过在人教版官网上是和现在使用的版本放在一起的：

通过开头的题目和人教版官网上把新老教材放在一起其实也是提醒我们需要认真看看这些资料，不要盲目刷题。不仅如此，之前有一个材料中提到了一类高考压轴题类型时是这样介绍的：

其中提到的贝努利不等式在上述教材中作为例题出现的：

而柯西不等式和排序不等式则是作为整个章节出现的：

贝努利不等式在湖北安徽的高考中都曾出现过，而2022年天津高考数学压轴题其实就是柯西不等式，这也说明这本选修4-5的重要性。

而这本选修4-5的第二讲则是关于不等式证明的一些方法：

其中的有一道练习题如下：

可以看到这也是天津高考和模拟题中经常出现的根式放缩类型。

除此之外，开头题目的第二问其实是考察阶乘裂项，应该是改编自下面这道题目的第三问：

解答方法如下：

关于阶乘类型的裂项，现阶段使用的教材书后习题就有 (下图中第8题第(2)小题)：

通常可以简化为以下三个表达式：

更多关于阶乘类型的裂项，可以参见笔者之前的文章《教材上容易被忽略的内容（六）－简单谈谈“阶乘型”裂项》。

当然，笔者前面更多地提到选修4-5也是举例子，其实上一版本的选修系列教材对高考复习都很重要，建议考生复习时多加参考。

最后，再说一点，就是排序不等式之前更多的是出现在数学竞赛题和强基自招的试题中，而这次出现在了天津的高考模拟题中，笔者个人觉得可能也是提醒想拿高分的考生在复习时需要注意加强一下这方面的内容。