现在非常多的微积分教材，第一章都是函数，极限，连续。

数图结合

这和微积分这门学科的起源，发展过程并不相同。 微积分起源于牛顿发表 自然哲学的数学原理，用数学方法和力学原理解释了天体的运行轨道。几十年以后，欧拉在他的著作中，首次使用 f(x) 表示函数，100多年以后，由法国数学家柯西 将现在广泛采用的 极限定义写入教材。现在教材中连续的概念，是建立在极限的基础之上的。

两个重要极限

先讲函数，极限，连续 可以使人们对这些术语有个相同的理解。

牛顿，欧拉 没有采用现在的极限定义，他们的计算结果也是对的，他们用无穷小来说明问题。后来发展出极限定义，主要是因为微积分的应用范围扩大，利用极限概念，方便说明一些概念。

当考虑一个具体问题时，考虑极限和考虑直接无穷小的区别是，极限比无穷小更加体现出细节过程，信息多了，在大多数场合，不容易看出问题的全貌，在实际微积分计算中，大多数情况下采用无穷小思维就可以了，只有少数情况下，才需要深入到极限细节。

各种函数

当一门学科不断发展，应用深入到各个领域时，一些细节问题，就需要考虑和说明。

比如说，某个法律体系规定18岁负完全法律责任，今年是2023年，一个律师遇到 出生于2004年以前的当事人 和 2006年以后的 当事人，不需要关系 年龄计算的细节问题。 但是当遇到2005年出生的当事人，就需要关注年龄计算的细节问题了，是只要2005年12月31日以前出生的 都算18岁，还是按具体生日算，结果就有可能不同。

由无穷小，发展到极限的概念，也是因为一些问题的触发，用极限更有利于说明问题。比如一致连续性相关的问题。

登山没有路，自己探路

这种先讲概念再讲应用的教材和讲解方法，类似于用偏旁部首识字，不是按课文识字，会影响到人们的学习兴趣。让初学者对微积分这门学科的第一印象就是一些奇怪的概念，人为规定的规则。再做一些看起来充满技巧的练习。

实际上，牛顿用无穷小思维，成功地解释和计算了天体的运行轨道，体现了数学方法的强大力量，其思维方式，才是微积分真正的精髓。应该重点体会牛顿是如何化不可能为可能的。

如果剥离了问题的具体应用场景，单纯做一些概念的描述，规则步骤的讲解和练习。会影响好多人的学习兴趣。

学习微积分的目的，除了会套公式进行一些计算以外，应该放在体会当遇到现实问题时，这些先辈数学家是如何找到问题的突破口的。他们当时思维的创新点在哪里，他们这些创新点现在发展成了什么概念和计算方法。后来的数学家又在他们的基础之上，做了什么样的修补，他们的这些创新思维是不是可以继续扩展和一般化，抽象化，用于解决更广泛，更复杂的问题。

从算盘到计算机

先讲概念，再做练习，最后讲应用，这一套流程下来。容易让人认为只要熟悉了概念，做好练习，现实问题就自然解决了。没有首先面对未知问题，没有体会到独立思考问题的过程。容易把学到的概念，计算规则 技巧绝对化。比如现在微积分教材广泛积分的黎曼定义，后来又发展出勒贝格的积分定义，和黎曼定义是不一样的，所以这些定义并不是绝对的。

实际上，数学上重要的创新，大多数是先有实际问题，后来有人想出来计算方法。再后来又由有人把他们的方法总结为概念和计算步骤，编写为教材，进行宣讲。在这个过程中，步骤是清楚了，但是当时真正的创新点和突破口也被掩藏和模糊化了。

履带车轮子不是圆的

第一章(考研数学一大纲第一章)的内容，对熟悉高中知识的朋友来说，实质性的新内容 就是 两个重要极限 sin x /x 以及 (1+1/n)的n 次方。其它都是高中知识的重新叙述。

如果一些初学的朋友 对为什么要考虑趋于无穷小这样的场景感到费解，非常正常。

可以跳过极限，先看导数的几何意义与物理意义。自己考虑一下如果遇到计算瞬时速度和曲线切线这样的问题，该采用什么样是计算方法。

如果对把间断点划分为第一类与第二类有什么意义感到疑惑，也非常正常，可以先掠过这部分内容，等到 学了 傅里叶级数以后，再返回来看这部分内容。

反正现在微积分力学，电磁学，电路计算，信号分析，人工智能。。。各方面都有广泛的应用。这些领域现在还有许多未解决的问题。在学习微积分的过程中，体会先辈数学家思想的深邃之处，或许各位之中，会有人找到问题的下一个突破点。

微积分本身的内容是优美的，具有强大的力量，享受这一个探索过程，也是一件美好的事情。