学习微积分时，都会提到函数在一点的导数值，等于函数曲线过这点的切线斜率。

那切线只是作为说明微积分导数意义的工具吗？

它本身有什么现实意义，和实用价值没有?

有呀，用于计算光学镜面的焦距等特性。

先讨论一个非常水平的镜面，我们日常生活中的镜子。

镜子

会如何反射光线呢？

作垂直于镜面的直线叫成法线，入射光线和这条法线形成的角，就是入射角。

光线会朝什么方向反射呢？

反射光线和法线形成的角，就是反射角，

反射角和入射角总是相等的。

如果是透明镜面，需要确定折射光线的方向

折射光和法线反向一侧形成的角，是折射角。

彩虹就是光折射并色散的结果

对于一定的光学材料来说，

入射角的正弦值和折射角的正弦值 的 比值，是个固定的值。

这就是平面镜面的情况。

那好多光学仪器里，镜面都是曲面的，比如显微镜，望远镜里 都有 凸透镜，凹透镜等。

那对于曲面来说，光的入射角该如何计算呢？ 光会如何反射和折射呢？

现代望远镜反射面也是曲面

这时候，切线就登场了。

镜面是曲面的，在一个小点处，可以看成平面的。

镜面三维看是个曲面，二维看就是个曲线。

在一点处附近，三维看是个小平面，二维可以当成直线的一小段。

假设在曲线上一点A,取它附近曲线上的一点B,当B 无限接近A时，直线AB 就是曲线在 A点的切线。

这样定出切线来，过A 点垂直于切线的直线就是法线，就好确定入射角，反射角，折射角，以及光线的走向了。

所以研究曲面的切平面，曲线的切线，对光学镜面设计来说，非常重要。

伽利略

伽利略去世的同一年，牛顿出生。

伽利略就自己制作了一台望远镜，观察月亮和星星。

所以早在微积分发明以前，人们就在实际应用种，开始关注曲线的切线了。

牛顿也对光学有高度的兴趣，把白光用三棱镜分成七种颜色，并发明了反射式望远镜，可以消除色差。

色差，就是不同波长的光，对同一种光学材料来说，折射率有微小的差异。这样对于同一个镜面来说，对不同颜色的光焦距也有差异，对于一种颜色的光聚焦了，对于另一种颜色的光不聚焦。会造成望远镜图像的模糊。

现代摄像镜头，都采用两种光学材料，具有不同折射率，沾合在一起，来消除色差，这是牛顿时代以后的发明。

而采用反射式望远镜以后，镜面上一点，同一角度的入射光，不管波长如何，反射角度都是一样的，就没有色差问题了。

放大镜

除了对曲线可以计算切线，曲面可以计算切平面以外，还可以对曲线曲面计算曲率。

后来发展出微分几何这个数学分支，计算二维，三维以及更高维的曲线曲面的各种特性。

前几年，引力波的探测成了个大热门。

引力波想象图

根据爱因斯坦的广义相对论理论，遥远的宇宙深处，有两个大质量黑洞合并，就会发出引力波。传到地球上 就可以探测到.

引力波被人们称为时空的涟漪。

空间是三维的，再加上时间，就构成四维。

要理解爱因斯坦的理论，就需要理解四维空间中的曲率计算。

这样，从实际问题出发，产生出切线的概念。

经过数学家的发展，形成抽象微分几何，再实际应用于物理现象的计算和预测。