我们现在学习微积分，一般的教材第一章通常是讲极限，连续。现代教材里的极限定义是牛顿发明微积分一百多年以后，由法国数学课柯西提出来的，现在微积分教材里的许多内容，是由欧拉命名的，也是由欧拉提出来的，那欧拉整个生活的时代，也没有现代的极限定义。那问题来了，这些数学家都没有用现代的极限定义，好像不严密，那他们提出的内容和计算的结果为什么都是对的?

牛顿 微积分发明人

我们现在眼中的不严密，并没有影响到他们的思维和计算。

在现代极限提出以前，好多数学家的研究微积分的目的在于解决力学和几何问题 。可以把原函数理解为距离随时间变化的方程，导数理解为速度随时间变化的方程，这样思维的话，任何自身不连续或者导数不连续的函数，立马就在直觉中出现异常，因为物体不可能出现突然跳过一段距离的运动轨迹，也不会没有连续加速度，速度突然跳变。也可以把原函数理解为曲线，导数理解为切线，同样也可以通过直觉找出断点曲线和不光滑曲线的异常之处。牛顿的力学体系，万有引力方程和牛顿第二定律加速度方程，从现代看，都是连续可导的，所以研究力学问题时，现在有人构造的许多分段函数，以及一些处处连续，处处不可导的奇怪函数，都不在考虑和研究范围内。

微积分可以用来计算小行星的轨道

后来柯西提出现在教材里说的极限概念，就是用类似计算机流程化的计算步骤，来代替以前数学家所用的视觉化，形象化，直觉化思维，这些流程化步骤，对于直觉化思维不好的一部分学习者来说，有助于说明问题，可以减少学习过程中的疑惑。用计算流程来代替运动轨迹以及几何想象，一个不好的方面是思考的速度降低了 直觉也没有了。类似原来遇到一个问题，画成图形，很快就可以找到解决问题的方向，采用了现代的极限定义以后，类似于现在思考的过程不画图形了，脑中也不想象运动视频了，变成些代数方程和计算机循环以及判断语句了。遇到问题，如果别人给出解答方案，步骤是清楚了。但是自己遇到新问题，很长时间找不到思路。也就是别人对问题的答案可以看懂，可以慢慢琢磨，但是别人是如何想到这样解决问题的，其思路来源，隐藏的更深了。遇到现实问题，如何和结合和应用理论来解决，因为少了视觉化，直觉化思维的帮助，反应也更加迟钝了。

现在的一些微积分教材，通篇都是某某函数，在定义域内连续，在闭区间内可导，然后有某某某定理或公式，这些套话重复了无数遍。那关于研究那些不符合条件的函数，微积分可以如何应用，有哪些结论，基本没有说。 这就类似于 汽车发明以后，主要应用于正常海拔，正常温度的环境下，后来又有人捣鼓出了可用于高海拔缺氧环境下的汽车，也有人捣鼓出了可以应用于寒带，气温非常低的环境下的汽车。现在要培训普通环境下的汽车驾驶员，汽车使用手册上，每一句开头都是 当汽车在低海拔，正常温度的环境下时，可以按以下流程使用，这也有些啰嗦。培训寒带特种汽车驾驶员才有必要加这些话。

特种车辆

一个人去工厂流水线上上班，做入职培训的时候，厂方会把流水线上的这个岗位 的动作反复讲解，让工人练熟。如果工人问产品生产的整个流程，以及这个流程对整个生产流程的意义，以及整个生产工艺过程的历史发展，改进重组经过，流程和具体机器设备的关系，厂房就不乐意了。不止是工厂，一些软件开发公司，互联网公司，也对整个开发过程做了模块化，分割化，流水化处理，每个人只知道和负责其中的一小部分。对整个流程设计，整体规划和设计思路，进行了刻意掩盖和隐藏，以防止技术人员掌握了整体以后，和它竞争。

按说 ，大学是培养创新型人才的，学生对整体的理解越深，越有利于创造。微积分作为大学的基础课，对学生的创新性思维的形成有重要作用。 可是一些大学教材，把微积分课程搞得类似于流水线上工人的操作手册，把主要精力放在一些流程动作的练习和熟练性掌握上。

工厂的流水线