日常生活中，我们经常会见到自然的周期性现象，有的现象，不止受一个周期因素影响，是多种周期叠加而成的。比如一个公园的游览人数，既受周末和工作日差别的影响，也受季节的影响.有可能夏天最热时游客较少，秋高气爽时，游客人数多，这样叠加起来，秋天的周末游览人数最多。比如一个港口的海潮高低，既受月亮运行周期的影响，也受太阳运行周期的影响，所以每天有高潮，一月中也有高潮中的高潮。总潮高受这两个因素周期的叠加影响.

如果周围有多个声音源，用录音设备直接感知的是这些声音合起来引起的气压强度随时间的变化。

傅里叶级数适合用来处理声音信息

傅里叶级数可以用来做声音处理

用傅里叶级数，可以用来分析信号的频率成分。把信号理解为 多个不同周期正弦余弦信号的叠加。

对于自然界采样录到的信号，用傅里叶进行级数分解以后，就可以分析出它的频率成分。

在电子通信上，如果想用正弦余弦波合成 想要的波形，比如方波，锯齿波，用傅里叶级数把波形函数展开以后，就知道如何合成了。 电路上，lc振荡电路输出的就是正弦波。

示波器用来检查电路输出信号

示波器可以检测电路输出信号

傅里叶级数与泰勒级数相似的地方在于都把函数分解为无穷多个级数项的组合。

泰勒级数，把函数分解成幂级数，是基于函数在一点的函数值和前n 阶导数值信息来获取幂级数的各项系数。离这一点越近，泰勒级数越可以快速逼近原来的函数。

傅里叶级数，把函数分解为 三角级数。分解的函数范围在一个区间内，假设把函数的自变量理解为时间，把这个自变量范围长短叫成2t, 如果2t正好等于2π的话，则将这个函数 分解为 常数项，cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, con3t, sin3t......cos nt, sin nt 的组合。 常数项 也可以理解为 cos 0t.

如果2t 不等于2π，则将三角函数后边的 t 换成 π/t 就可以了，反正就是要使 三角函数系的最大周期正好是2t就可以了。

理解三角函数的周期长短，既可以用周期来理解，也可以用频率来理解。

则傅里叶级数，将原函数在一个时间范围内的T的函数值，分解为周期为0T, 1T,1/2T,1/3T,........1/nT 的三角函数的组合，就是三角级数的周期，是原函数要分解时间范围 的1 到 1/n 。 常数项理解为0周期的 余弦函数，cos 0T.

如果从频率角度来理解的话，这些三角级数的频率为 原函数 频率的 1倍，2倍，3倍，4倍，以至于 n 倍。

就是用 常数项 和 1到 n 倍频率的三角函数，组合出原来的函数。把基础频率的函数，分解为1到n 倍频三角函数，以及常数项的组合。

我们熟悉把一个复杂事物理解为简单事物组合的数学方法。

典型的，比如把 平面上的一个点的位置 用 横坐标 和 纵坐标 的组合来表示，对于三维空间，则用 x,y,z坐标。

平面上的点，也可以理解为坐标原点指向这点的向量，这样，平面上的任何一个向量都可以分解为 两个垂直向量的和。当然，要分解平面上的一个向量，只要以两个不平行向量为基就可以。但是，只有用相互垂直的向量为基分解才最高效。

而且基的数目要够，比如三维空间中的向量分解，必须要至少三个向量。这三个向量要不在一个平面上。否则有的向量分解不出来。

所以，要进行任意向量的分解，需要选一组基，所有基之间应该相互垂直，一般把这个相互垂直叫成正交。基之间相互正交，保证了没有冗余的基。每个基都是必须的，它要表达的信息，通过别的基的相互组合是组合不出来的。

而且选的这组基数目要足够，三维向量，用两个基是分解不出来的。最合适的就是三个相互垂直，也就是相互正交的基。

向量分解 是把 向量分解为其它一组向量的组合。

把函数分解傅里叶级数，就是要把 一个函数 分解为 其它一组函数的组合。

所以选什么样函数来组合， 这组函数基也非常重要。

这里就借用向量正交的说法，提出两个函数正交的概念。一个函数能表达的信息，通过和它正交的函数无法表达出来，所有的 基函数正交，保证这组基函数每个成员都是必须的，没有冗余的基函数。同时基函数要数目足够，才有足够的表达能力。

两个函数在一个区间上正交，就是这两个函数的乘积 在这个区间上的定积分为0。

两个向量正交，两个向量的 数量积，也叫 内积，有人叫 也叫成点乘 为0。

两个函数正交，先把这两个函数乘起来，得到一个函数，再计算这个函数在一个区间上的定积分，如果结果为0，则这两个函数正交。

那 三角函数系，1，cos t, sin t,cos 2t, sin 2t....以至于 cos nt, sin nt 两两之间，都是相互正交的。积分区间是 -π 到 π。

验证这个正交，把这组函数中任意取两个，只要这两个函数不相同，则用积化和差 公式，转化为cos kt,sin kt 的组合，再算出原函数来，还是 一个数乘以 sin kt 或 cos kt,对于任意整数k,对负π 和 正π ，函数值都一样，所以积分在 区间上 就是0。

要计算泰勒级数的各项系数，利用函数在一点的函数值和各阶导数值就可以算出来。

进行向量分解时，分别计算要分解的向量到各个基向量上的投影大小就可以。

傅里叶级数，把函数进行频率分解，也是分别计算待分解函数 在各个频率基函数 上的 "投影"大小

要计算傅里叶级数 的各项系数，如果要分解的 值域 区间 是 -π 到 π ，则通过计算 原函数 乘以三角 函数系 各个 函数 在区间 -π 到 π 的定积分，就可以算出各个函数前边的系数。

如果一个函数 和一个函数项级数 本质上相同，那他们的各阶导数应该相同。

它们在相同区间上的定积分也应该相同。

泰勒级数展开 和 傅里叶 级数展开，算系数的方法 方向相反，泰勒级数需要算导数，而傅里叶级数算积分。

要算导数，需要函数连续可导。

而算积分，函数有第一类间断点也可以，只要间断点是有限个就可以了。

一个函数，只要符合 狄利克雷 条件，就可以展开成傅里叶级数。

狄利克雷条件 有一条，在一个周期内，极大值和极小值的数目应该是有限个。

这个从直觉上容易理解，一个周期内，极大值和极小值的个数 反映了 这个函数 最高频成分的 频率有多高相关的信息。如果一个周期内极大值和极小值的个数有无限多个，则这个函数的最高频率成分也是无限的，虽然傅里叶级数的项数是无限的，最高频率也是无限的，但是无限高频率是分解不成无限高频率的组合的。

类似录音设备，每秒采样率越高，录的声音越逼真，只有足够高的采样率才能反映出声音信息的高频成分。要录到人耳能听到的最高频声音，录音采样率应该大于 最高声音频率。