根号2大小这个数一定存在，但是不能用任何分数来精确表示它。只能用分数(有理数)来无限逼近它。

不定积分运算中，有些看起来形式比较简单的函数，不定积分的结果却不能用基本初等函数的有限个组合来表示它。但是导数为给定函数的那个函数一定存在，可以用无限多项函数项级数来逼近它。

龟兔赛跑被用来说明无穷级数的和是一个固定值

龟兔赛跑

有人用龟兔赛跑 来说明有些 无穷级数 有固定和这个事实

级数是研究积分，微分方程的重要工具。

判断级数是收敛还是发散的也很重要。

在没有电子地图以前，我们要去某一地，先找到这个地方周围的地标性建筑，再通过和地标性建筑的相对方向远近关系，找到最终目的地点。

在判断级数收敛和发散时，也有两个重要的地标性建筑，

第一个等比级数，也叫几何级数。

第二个p级数。

这是一个等比级数

熟悉的等比级数

1 ，1/2 ，1/4，1/8。。。。

这个就是一个等比级数，前n项和的极限是2。大多数都熟悉这个。上边这个等比级数 的公比为 1/2。

判断一个等比级数是收敛还是发散，就看它的公比，假设公比为 p, 当绝对值 p小于1时，就是收敛的。当绝对值p 大于等于1时，就是发散的。

其它正项级数 可以通过 比值判别法，来和等比级数比较，计算当n 趋向无穷大时，后项和前项的比值极限来判断是否收敛发散。假设这个比值极限为p, 如果p大于1，发散，p 小于1 则收敛。当p等于 1，还需要进一步判断。

这个是调和级数

这个是调和级数

比如 1，1/2，1/3，1/4。。。。

这个级数，称为调和级数，这个级数n 趋于无穷大时，后项比前项的极限从小于1的一侧趋近于1。

这个级数是 发散的。

如何证明呢，现在 设定一个大数 假设是一亿吧。

则这个级数的 第一亿项到 第二亿减1项都大于2亿分之一，合起来大于1/2。

第二亿项到第四亿减一项，都大于四亿分之一，合起来大于1/2

以此类推，第4亿到8亿减一项

第8亿到16亿减一项

。。。。。。

后边有无数个 1/2

这样累加起来 是无穷大。

就是一亿项以后，累加起来是无穷大。

把这个大数，再换大，一亿的一亿次方，这个过程依然可以照搬。

这样就说明 这个调和级数是发散的。

这个级数是收敛的

这个级数是收敛的

那 1除以 (1的平方)

1除以 (2的平方)

1除以 (3的平方)

。。。。。。

1除以 (n 的平方)

这个级数，每项都比调和级数小，这个级数是 收敛还是发散的?

通过上边的图中的 放大 再拆分技巧， 可以看出这个级数是收敛的

这个是p级数，级数中的地标

这个是 p级数，级数中的地标

上图这个是 p级数

当p=1 时，就是调和级数，是发散的

当p=2时，上边说明，是收敛的。

那 p 在 1和2中间，收敛和发散的分界点在哪里呢？

只要p 大于1 级数就是收敛的。

如何证明这个事实呢？

可以把这个级数缩放以后，再用积分计算，就可以判断出来了。

p级数一项与定积分进行比较

p级数的一项和 定积分进行比较

上边图中，这个阴影部分的面积，就是

函数 x的p 次方 分之一

从1到2 的定积分

这是个曲边梯形的面积

左边最高，高度是1的p 次方 分之一

右边最低，高度是2的p次方 分子一

梯形的宽度是 1

所以有上图中的 级数项 和 积分的大小关系。

可以利用这个大小关系，将p 级数缩放以后，用无穷积分计算。

当 p 等于1时，将级数各项和 缩小以后

用 对 函数 1/x 的积分计算。

1/x 的原函数为 ln x

x 趋于无穷时，是无穷大。

所以 调和级数 缩小 以后，依然是发散的，所以调和级数 发散。

当p 大于1时，将级数放大以后，用定积分计算。

原函数为 (1—p) 分之 乘以

x 的(1-p) 次方

当x 趋于 无穷大时，极限是0

所以 定积分的结果，是个确定数值。

放大以后，是收敛的。

所以 p 级数，当 p ＞1时，是 收敛的。

有了 p 级数这个地标。其它一些级数，可以通过 比较判别法，通过和p级数关系，来判断收敛 还是发散。