根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算x^2(2x+7)^2+(4x+7)=0在[-3.500,-1.750]上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。

※.判断方程根的情况

设f(x)=x^2(2x+7)^2+(4x+7)，

当x=-3.5时，f(x)=f(-3.5)

=(-3.5)^2[2*(-3.5)+7)]^2+[4*(-3.5)+7]≈-7.0<0，

当x=-1.75时，f(x)=f(-1.75)

=(-1.750)^2[2*(-1.750)+7)]^2+[4*(-1.750)+7]≈37.5156>0，

可知在区间[-3.5,-1.75]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：

对x求导有：

f'(x)=2x(2x+7)^2+x^2*4(2x+7)+4，

=2x(2x+7)(4x+7)+4,

当x∈[-3.5,-1.75]时有：

x＜0，2x+7≥0，4x+7≤0,

所以f’(x)＞0，则函数f(x)=x^2(2x+7)^2+(4x+7)为增函数，故：

方程x^2(2x+7)^2+(4x+7)=0在[-3.5,-1.75]上有唯一实数解。

根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：

xi=-1.75-f(-1.75)/f'(-1.75)，以下连续用该方程进行计算，则有：

x1=-1.75-f(-1.75)/f'(-1.75)=-1.75-37.5156/4.0=-3.063;

x2=-3.063-f(-3.063)/f'(-3.063)=-3.063-1.9147/32.1199=-3.123;

x3=-3.123-f(-3.123)/f'(-3.123)=-3.123-0.05281/29.8645=-3.125;

x4=-3.125-f(-3.125)/f'(-3.125)=-3.125--0.00684/29.7813=-3.125;

至此，可知可以以x=-3.125为方程根的近似值，其误差不超过0.001。