关于数学的方法学

欧几里得的证明方法从自己的子宫就生出了这样一个最让人印象深刻的讽刺，那就是有关平行线理论的著名激辩和人们每一年都重复试图去证明那第11条公理。也就是说，这公理表明，而且通过一条横切的第三条线的间接标记：两条彼此靠近的直线（这也就是“少于两个直角”的意思），如果足够的延长，就必然相交。这一真理据说是太过复杂了，以致无法不证自明，所以，它需要一个证明，但这证明却是拿不出来的，恰恰就是因为再没有比这更加直接的证明了。这种内心的踌躇让我想起了席勒的法律和权利问题：

多年来我把鼻子作嗅觉之用，但我真的对此有可证明、可查实的权利吗？

确实，在我看来，逻辑的方法经此方式最终成了愚蠢、无聊的事情。但也正好通过对这些问题的激辩，连带人们徒劳地试图把直接真确的东西表现为只是间接真确的东西，那直观的显而易见所特有的独立性、自主性和清晰性，就与逻辑证明的无用和困难形成了启发性，这并不亚于可笑的对照。也就是说，人们在此之所以并不承认那种直接的真确性，是因为这种真确性并不是逻辑的真确性，并不是从概念中得出的，因此并不是唯独建立在属性与主体的关系之上，依照的是矛盾律。但上述那条公理却是一个先验的综合性定理，而作为这样的综合性定理，是有其纯粹直观、而非经验直观的保证的；而纯粹直观是直接的和真确的，一如矛盾律本身，而所有的证明都先从这纯粹直观那里得到其真确性。从根本上说，这一点适用于每一个几何学定理，而要在哪里划上直接真确与先要得到证明之间的界线，则是人为任意的。我觉得奇怪，为何人们不对这第8条公理提出质疑：“彼此能够重合的形体是相等的。”这是因为彼此重合要么只是语义重复，要么是某些完全来自经验的东西，而这就不属于纯粹直观，而只属于外在的感觉经验。也就是说，它假设了形体是会移动的前提。但只有物质才是在空间中移动的。所以，提及这彼此重合也就是为了进入物质的和经验的范围，而离开了纯粹的空间——这几何学的唯一元素。

在柏拉图的教室门楣上，据称有这样的题词：“没学过几何的人不要进来。”这让数学家很为之骄傲，但之所以说出这句话，毫无疑问是因为柏拉图把几何形体视为永恒理念与个别事物之间中间的东西，就正如亚里士多德在《形而上学》中所经常提到的（尤其是在第6章，第887、　998页和第827页的注释；贝罗尔编辑）。此外，那些自为存在的、永恒的形式，或说理念，与转瞬即逝的个别事物的对照，在几何形体那里是最容易让人一目了然的，并因此奠定了理念学说的基础。而这就是柏拉图哲学的中心点，并的确是他的唯一认真和明确的理论性教义；所以，在陈述他的哲学的时候，柏拉图就先从几何学开始。在这同一意义上，人们告诉我们说：柏拉图把几何学视为一种预先的练习，好让在实际生活中只跟实体的东西打过交道的学生，透过这练习也习惯于处理非实体的东西（亚里士多德著作注释，第12页和第15页）。这就是柏拉图建议哲学家学习几何学的用意，我们因此就没有理由把几何学膨胀起来。我宁可建议大家阅读一篇讨论透彻、充满识见的文章：这篇文章探究了数学对我们的精神思想力的影响及对科学教育的用处。这本来是对威维尔的一本书的书评，登在1836年1月《爱丁堡评论》上。这篇文章的作者，W·哈密尔顿，苏格兰的逻辑学和形而上学教授，稍后把这篇文章与一些其他文章一道在自己的名下出版了。这篇文章也由一个译者从英文翻译成了德文，以《论数学的价值和没有价值》的题目在1836年单独出版。这篇文章的结论就是数学的价值只是间接的，也就是只在于应用其达到唯有通过数学才可以达到的目标。但就其自身而言，数学不会让精神思想有任何的进步，一点都不会有助于对精神思想的一般性训练和发展，甚至反过来会有明确的妨碍作用。这一结论不仅透过对数学的思维活动所做的透彻的思维学方面的探究得到证明，而且还通过所累积的有学问的例子和权威，加强和巩固了这一结论。数学剩下的唯一直接的用处，就是数学可以让头脑飘忽不定的人习惯于固定其注意力。甚至那以数学家闻名的笛卡尔，也是这样评价数学的。在巴耶的《笛卡尔的一生》（1693）第2部第6章第54页是这样写的：

他的经验让他确信数学并没有多大的用处，尤其是如果人们就因为这数学的缘故而学习数学。在他看来，没有什么比沉浸在简单的数字和想象中的形态更欠缺踏实的了。

等等。