主要内容：

本文主要介绍函数y=8ln[(6+x)/30x]-48/(6+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

函数定义域：

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(6+x)/30x＞0，即不等式解集等同于30x(6+x)>0，则x>0或者x＜-6, 所以函数的定义域为：(-∞，-6)∪(0，+∞)。

函数的单调性：

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y= 8ln[(6+x)/30x]-48/(6+x)=8[ln(6+x)-ln30x]-48/(6+x),

∴dy/dx=8[1/(6+x)-1/x]+48/(6+x)^2

=8[x-(6+x)]/[x(6+x)]+48/(6+x)^2

=48{1/(6+x)^2-1/[x(6+x)]}

=-288/[x(6+x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-6)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

函数的凸凹性：

∵dy/dx=-288/[x(6+x)^2]

∴d^2y/dx^2=288*[(6+x)^2+2x(6+x)]/ [x^2(6+x)^4]

=288*[(6+x)+2x]/ [x^2(6+x)^3]

=288*(6+3x)/ [x^2(6+x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有6+3x=0,即x=-2,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(6+3x)>0且(6+x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-6)时，有(6+3x)<0且(6+x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

函数的极限：

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) 8ln[(6+x)/30x]-48/(6+x)=8ln(1/30);

Lim(x→-∞) 8ln[(6+x)/30x]-48/(6+x)=8ln(1/30);

Lim(x→-6-) 8ln[(6+x)/30x]-48/(6+x)= +∞;

Lim(x→0+) 8ln[(6+x)/30x]-48/(6+x)= +∞。