曲线y^3=211x^2+86x+9的主要性质

主要内容：

本文主要介绍曲线方程y^3=211x^2+86x+9的定义域、单调性、凸凹性及极限等性质，并通过函数导数知识求函数的单调和凸凹区间。

※.曲线的定义域：

观察曲线的特征，自变量x可以取全体实数，则曲线方程的定义域为：（-∞，+∞）。

※.曲线的单调性

主要思路是求出曲线方程的一阶导数，再判断曲线的单调性。

∵y^3=211x^2+86x+9,

∴3y^2*y'=422x+86,

则：y'=(422x+86)/3y^2,

令y'=0，有: 422x+86=0。

即：x=-43/211,进一步可知函数单调性及单调区间：

(1)当x∈(-∞,- 43/211]时，y'<0,此时为减曲线。

(2)当x∈(-43/211,+∞)时，y'>0,此时为凹曲线。

※.曲线的凸凹性

主要思路是求出曲线方程的二阶导数，再判断函数的凸凹性性。

∵y'=(1/3)(422x+86)*y^(-2)

∴y"=(1/3)[422*y^(-2)+( 422x+86)*(-2)*y^(-3)*y']

=(2/3)[211y^(-2)-(422x+86)y^(-3)*y']

=(2/3)[211y^(-2)-(422x+86)y^(-3)*(1/3)(422x+86)*y^(-2)]

=(2/9)[633y^(-2)-(422x+86)^2*y^(-5)]

=(2/9)[633y^3-(422x+86)^2]*y^(-5)

将y^3代入上式得到：

y"=(2/9)[633(211x^2+86x+9)-(422x+86)^2]*y^(-5)

=(2/9)(-44521x^2-18146x+5697-7396)*y^(-5)

=(-2/9)(44521x^2+18146x+1699)*y^(-5)

对于g(x)=211x^2+86x+9

判别式△=7396-7596=-200<0;

则g(x)在定义上为正数，即y"<0,此时曲线为凸曲线。

※.曲线的极限

Lim(x→-∞)y=lim(x→-∞) (211x^2+86x+9)^(-1/3)=+∞,

Lim(x→+∞)y=lim(x→+∞) (211x^2+86x+9)^(-1/3)=+∞。