1.计算lim(n→∞)(16n²-26)/(22n⁴+5n-20)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(16n²-26)/(22n⁴+5n-20)

=lim(n→∞)(16/n-26/n⁴)/(22+5/n³-20/n⁴),

=0。

2.计算lim(n→∞)(46n-37n-10)/(9+4n-35n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(46n²-37n-10)/(9+4n-35n²)

=lim(n→∞)(46-37/n-10/n²)/(9/n+4/n-35),

=(46-0)/(0-35),

=-46/35。

思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 46n²-37n-10)/(9+4n-35n²)

=lim(n→∞)(92n-37)/(4-70n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(92-0)/(0-70)，

=-46/35。

3.求极限lim(x→1)(x³-20x+19)/(x⁴-20x+19)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-20x+19)/(x⁴-20x+19)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-19)/[(x-1)(x³+x²+x-19)],

=lim(x→1)(x²+x-19)/(x³+x²+x-19),

=(1+1-19)/(1+1+1-19),

=17/16。

4.求lim(x→0)(22x+17sin9x)/(24x-7sin5x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(22x+17sin9x)/(24x-7sin5x)，

=lim(x→0)(22+17sin9x/x)/(24-7sin5x/x)，

=lim(x→0)(22+153sin9x/9x)/(24-35sin5x/5x)，

=(22+153)/(24-35)，

=-175/11。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(22x+17sin9x)/(24x-7sin5x)，

=lim(x→0)(22+17*9cos9x)/(24-7*5cos5x)，

=(22+17*9)/(24-7*5)，

=-175/11。

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(29x+42)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(29x+42)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(29x+42)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[29+(42/x)],

=1/{lim(x→∞)[29+(42/x)]},

=1/29。

6.求lim(x→0)(sin37x-sin73x)/sin18x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin37x-sin73x)/sin18x

=lim(x→0)2cos55xsin(-18x)/sin18x,

=lim(x→0)-2cos55x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin37x-sin73x)/sin18x,

=lim(x→0)(37cos37x-sin73cos73x)/(18cos18x)，

=lim(x→0)(37-73)/18，

=-2。

7.求lim(x→0)(1+2x)^(25/11x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+2x)^(25/11x),

=lim(x→0){[(1+2x)^(1/2x)]}^(25*2/11),

=e^(25*2/11),

=e^(50/11)。