函数y=13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)的性质

本文主要介绍函数y=13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(14+9x)/9x＞0，即不等式解集等同于9x(14+9x)>0，则x>0或者x＜-14/9, 所以函数的定义域为：(-∞，-14/9)∪(0，+∞)。

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y= 13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)=13[ln(14+9x)-ln9x]-182/(14+9x),

∴dy/dx=13[9/(14+9x)-1/x]+1638/(14+9x)^2

=13[9x-(14+9x)]/[x(14+9x)]+1638/(14+9x)^2

=182{9/(14+9x)^2-1/[x(14+9x)]}

=-2548/[x(14+9x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-14/9)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

∵dy/dx=-2548/[x(14+9x)^2]

∴d^2y/dx^2=2548*[(14+9x)^2+18x(14+9x)]/ [x^2(14+9x)^4]

=2548*[(14+9x)+18x]/ [x^2(14+9x)^3]

=2548*(14+27x)/ [x^2(14+9x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有14+27x=0,即x=-14/27,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(14+27x)>0且(14+9x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-14/9)时，有(14+27x)<0且(14+9x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) 13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)=13ln1-0=0;

Lim(x→-∞) 13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)=13ln1-0=0;

Lim(x→-14/9-) 13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)= +∞;

Lim(x→0+) 13ln[(14+9x)/9x]-182/(14+9x)= +∞。