假设存款一年的利息是20%,如果计算复利的话?,每月的利息应该是多少? 如果按一年365天计算复利的话 每天的利息应该是十万分之几?
镭的半衰期大约为1600年,那30年后有百分之几衰变了?
计算这些都需要用到指数函数。
在更复杂的情形下,需要计算指数函数的导数。
指数函数 可以以2为底,也可以以10为底。也可以是其它数。
有一个数,以它为底的指数函数,再求导数,在每一点的导数值,都等于它自身的函数值。
这个数,就是自然常数e
含有e 的方程,常常出现在 放射线元素衰变过程,电路变化的过程的计算中。
这个数,是个无理数等于 2.7182。。。。。
那这个数 是 如何计算出来的呢?
e 的泰勒展开
就是通过上边这个级数 就可以算出来
e 就是这个极限
如果用极限表示的话,就是上边这个极限。
上边这个极限,如果n 取整数的话,可以用牛顿二项式展开,展开以后,可以看出,结果是随着 n 的增加而单调递增的。所以极限就是上边的泰勒展开。
下边是自然对数函数
以e 为底的对数函数,就是 ln x , 这个函数学习微积分是人,也非常熟悉,因为 它的导数 非常简单,就是 1/x.
在数学发展的历史上,是先知道 ln (1+x)
这个函数,后来才广泛使用e 的。
画出1/ (1+x)的函数图像,在x 等于0时,函数值 等于1,随着x 的增大,函数值趋于无穷小,
这个函数曲线和x 轴围成的面积,就是 ln(1+x)
这个角度理解自然对数函数,以及引出e ,更加贴近它本来的发展历程。