第一个动态和无穷小思维。

微积分是研究天体运动的力学原理中发展起来的。运动思维是微积分内在的，固有的思维方式。

要研究变速运动物体的瞬时速度，

就会自然地想到无穷小思维。

时间的累积效果非常明显

不能没有时间流逝，没有时间流逝，就不会有位移和速度。

计算物体在一个时间点的瞬时速度，

所用的时间间隔越小，越精确。

所以应该考虑时间间隔趋于无穷小，但是又不等于零的情况下，物体的平均速度。

自然界中 表面上不是动态的事物，其实是动态的。 比如物种的演化，地球的演变。

一个化石

达尔文进化论用动态思维考虑生物学问题，获得了对物种之间关系，物种性状的全新理解。

在矿产资源勘察中，考虑地质年代，地球本身的演化，是不可缺少的思维方式。

使用微积分研究数学问题，所有的问题都放到动态的视角下研究。

电流不断变化才能释放电磁波

比如一个圆的面积，在微积分的视角里，是随着横坐标的变化，圆的曲线和x轴所围成的。

比如sin 7度的值，在微积分的视角下，可以看成，是 从 sin 0变化了7度以后形成的。可以通过0度的 sin 值，以及角度变化时，sin x 值随 x 的各阶变化率在 0点的值，来计算 sin 7度的只。

这种用动态思维考虑问题的方式，比初等数学的方法更高效，更一般化，需要的技巧更少，需要记忆的知识点更少。

百米跑运动员

在微积分的角度，要计算和考虑的数学对象，都是在变化中的一个瞬间值。类似给正在百米跑的运动员拍一张图片，反应其瞬时的状态一样。

钳子夹住物品

第二个 夹逼思维

这个方法 类似于 证明不等式中 用到的 缩放思维。 假如要 证明 a 大于 b.

可以 把 a 缩小，。把 b 放大，

如果经过缩放以后，不等式依然成立，

则原不等式成立。

经过缩放，原来不好直接比较大小的 两个表达式 就好比较大小了。

而夹逼准则，就是如果 经过缩放，两个极限趋向于同一个值，则原极限一定也趋于 这个值。

这种缩放思维，微积分中也用来计算积分，以及判断无穷级数的收敛性。

人爬楼梯改为电梯动，也是换元

第三个 换元思维

换元法 在 解方程中，就是更换考虑的未知数。有时可以简化计算。

在微积分中，就是更换考虑的 变量。

积分法中 第一类换元积分法，第二类换元积分法，都是对换元思维的应用。

定积分计算中，也可以用换元思维来 改变积分区间。

两个牛逆向发力

第四个 逆向思维。

逆向思维，在所有的数学分支中都非常重要。

在航行中 可以顺流而下，也可以逆流而上，直到河流的起源。

在微积分中，用反函数 方法，推导 ln x， 反三角的导数公式。就是逆向思维的应用。

而换元积分法，其实就是 复合函数 求导 的 逆向操作。

可分离变量 常微分方程，两边同时求积分，就是对隐函数求导的逆向操作。

当然积分是微分的逆向操作。

一些中值定理证明题，就是出题人 在原函数的基础上构造出一个函数，经过求导运算，得到结果，做这些题目，需要用逆向思维，猜出出题人的构造的函数。

还有一些题目，让计算变上限积分函数的各种性质，就是利用求导是积分逆运算的思维，来设置题目的机关。让考生破解。

一个三维图

五 代数几何转换思维 或者 叫做 数图转换思维。

导数可以 在 图形上 表示为 曲线的切线。

积分在图形上 表现为 曲线和坐标轴围成的面积。

对二元函数来说，二重积分，表现为函数曲面和坐标面围成的体积。

总体来说，代数思维，适用于问题的精细计算。

而 图形思维 有利于 掌握问题的整体性质 快速获得思路。

适当地 采用 数图转化，对一些问题来说，有显著的效果。

登泰山小天下，