本文通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法，介绍已知当0＜x＜1时，求函数y=x(1-4x)的最大值的主要步骤。

因为y=x(1-4x)，所以y=1x-4x^2=-4x^2+1x,

其对称轴x=b/2a=-1/2*(-4)=1/8∈(0,1),

该二次函数的开口向下，所以在对称轴处取得最大值，则：

ymax=f(1/8)

=(1/8)*(1-4*1/8)=1/16.

由不等式ab≤(a+b)^2，a，b∈R+知：

y=x(1-4x)=(1/4)*4x*(1-4x)

≤(1/4){[4x+(1-4x)]/2}^2

=(1/4)*(1/2)^2=1/16,

此时4x=1-4x，即x=1/8∈(0,1),

所以函数y的最大值为1/16。

∵y=x(1-4x)，∴y=1x-4x^2,对x求导有：

dy/dx=1-2*4x，令dy/dx=0,则：

1-2*4x=0，此时x=1/8，且有：

(1)当x∈(0，1/8)时，dy/dx＞0，函数为增函数；

(2)当x∈[1/8，1)时，dy/dx≤0，函数为减函数。

则当x= 1/8时，y取最大值，此时ymax=1/16。