拓扑群是一个同时具有群结构和拓扑结构的数学对象，并且这两种结构之间存在着紧密的联系。设G是一个非空集合，满足以下条件：

兼容性：

推导过程：

兼容性：矩阵乘法和求逆运算在这个拓扑下是连续的。矩阵乘法是矩阵元素的多项式运算，因此是连续的；求逆运算可以通过伴随矩阵和行列式的关系来表示，行列式是非零的连续函数，伴随矩阵的元素也是矩阵元素的多项式，所以求逆运算也是连续的。

拓扑群定义中要求乘法连续和求逆连续，主要有以下几方面原因：

便于进行数学研究：连续性条件为拓扑群的研究提供了强有力的工具和方法。在分析拓扑群的性质，如紧致性、连通性等时，运算的连续性起着关键作用。而且，连续的群运算使得我们可以利用拓扑学中的极限、收敛等概念来研究群元素之间的关系和群的结构，有助于深入挖掘拓扑群的内在性质，推动相关数学理论的发展。符合同态与同构要求：在研究拓扑群之间的关系时，连续的群同态（保持群运算和拓扑结构的映射）和同构是重要概念。乘法连续和求逆连续使得拓扑群之间的同态和同构能够保持群和拓扑的双重结构，保证了在不同拓扑群之间进行结构和性质的比较与转换具有合理性和有效性。