那天和朋友聊到悖论与“浆糊”的最大不同之处。

“浆糊”是以人的“力道”为基础，悖论的基础则是逻辑，而逻辑是人的思维（抽象思维）。例如：假设我们所处的空间和经历的时间，是无限连续的，于是有了如下的“龟兔赛跑”悖论：

在无限的连续时空中，甲乙两人看乌龟和兔子一起赛跑，甲说“兔子跑得快”，理由是：兔子始终跑在乌龟的前面；乙说“乌龟跑得快”，理由是：兔子要追上乌龟，兔子首先必须到达乌龟的出发点，而兔子始终达不到。

黑洞信息悖论▲

上面说的就是古希腊著名的“龟兔赛跑”悖论。

如果我们把“无限的连续时空”换成“无限的离散时空”，那么在一段有限的距离内，兔子肯定比乌龟跑得快，除非兔子跑到半路睡觉而不跑了，乌龟倒是可以赶上的，但前提必须是，乌龟决不能睡觉。

人们因为有了思想，才会出现悖论。因为有了悖论，人们才会不断的思想，理性地不断地去思想，设法完善。靠“力道”的人，无法服人。那个“指鹿为马”的始作俑者，秦朝大“力道”者丞相（原宦官）赵高，终于被秦三世子婴所杀，尽管秦三世子婴只做了46天的秦朝最高统治者。

“指鹿为马”的故事，发生在公元前208年左右的中国秦朝。“龟兔赛跑”的悖论，出自于古希腊亚里士多德（公元前384——322年）所著的《物理学》一书。

“龟兔赛跑”悖论▲

然而，数学是严密的。

人类的初期，规定了数字：即自然数和自然数组成的分数，这些数都是可以公度的；运算随之产生，即四则运算。并且将这些数，经过四则运算后，仍然是这些数，只是数值不同而已。虽然因为减法而产生了负数，但也是可以公度的，没有什么“浆糊”可捣。可是，“问题”还是不少。当古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前约572—497年）证明了，以他命名的毕达哥拉斯定理后（我国称为“勾股定理”），才知道：直角三角形斜边长的值，等于相邻两条直角边的平方之和再开平方。

古希腊数学家毕达哥拉斯▲

于是，问题来了，并不是所有的数，开平方后都是可以公度的。（“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd【m，n为自然数】，那么称线段d为线段a和b的一个公度。

“勾股定理”中的“勾三、股四、弦五”是个特例。一个可以公度的数，经过开平方，通常多为不可公度的`。换言之，在一个两条直角边长可以公度的直角三角形中，它的一条斜边的长，可以是不可公度的。于是，出现了不可公度的数。

因为出现了不可公度的数，这个数又是在几何中出现，几何还是比较直观的，例如直角三角形中斜边的长。所以，当时的人自然要问：这条不可公度的斜边，真的存在吗？假如存在，那为什么不可公度；是用于公度的“尺”没有制造出来，还是根本就没有这种“尺”。

原本可以用自己的手指头、脚趾头来表达的数字，经过自己严密的逻辑推理和演算后，所得到的数，却变得不再可以用，自己的手指头、脚趾头来表达了，即不可公度的了。这是人们先前所没有预料到的。这到底是逻辑推理出了问题，还是自己的认识出了问题。要解决这个问题，恐怕单靠“力道”是不会有理想结果的。

靠“力道”是不会有理想结果的▲

上面说了这许多，我静静地坐在书桌边，深情地望着书桌旁的书架，书架上摆满了一摞摞的书。

这些书，仅仅是伴随着我幸存下来的那些书，有的是我年轻时读过的书；有的是我年轻时读书的参考书及参考文献；有的则是，长辈年轻时读过的书，他们认为对我有用，介绍给我读的，后来就留给了我。

我静静地坐在书桌边▲

我面对浩瀚的学问，知之甚少，学无止尽。尽管知之甚少，我还是写下了我的所知、所想。我想，下面的文章，还是继续上文胡扯几句。

人有两只脚，鸡鸭鹅亦然，猫狗牛马四只脚，蜘蛛螃蟹八只脚，都是偶数而非奇数。最近读到一篇文章，从科学的角度说明，动物运动时为了保持稳定，身体左右两边必须对称。尤其是快速奔跑时，对称才能保持平衡。因此，从大约五点五亿年前的寒武纪开始，进化已经走上了肢体成对发展的道路。俗话说，“三条腿的蛤蟆不好找”，这下有了科学依据。其实，何止蛤蟆，三条腿的任何动物都难以找到，又何止三条腿，一条腿、五条腿亦然，总而言之，在进化的代数学中，就没有奇数腿动物的位置。

为什么动物的腿都是是偶数只？▲

或因如此，神话故事里奇数腿的动物便多起来。

《封神演义》里的怪兽龙须虎，长相奇特，得天地造化，可口吐人言，头似骆驼，脖如鹅，耳像牛，爪如鹰，有两根虾鬚，一身鱼鳞，身是龙身，脚为虎脚，而且只有一只。“夔”据说也是“一足”。在《山海经》里的一足夔“状如牛，苍身而无角”的怪兽，和龙有几分相似。黄帝以其皮为鼓，“声闻五百里”。也有说夔是上古时代音乐家，既然是人，为何一足呢？其实“夔一足”是说像夔这样的人才有一个就足够了。

《山海经》——英招，它是天帝的巡抚▲

更出名的则是三足金乌。有说此鸟是西王母的宠物，听她指挥。

又被看作太阳的象征，唐朝韩愈诗曰“金乌海底初飞来”。古书上还记载“日中三足乌见者，大旱赤地。”但是，马王堆汉墓T形帛画右上角的太阳里有一只神鸟，却是两条腿。有学者认为，金乌形象经历了从二足到三足的演化，但也有人认为，马王堆这只不是金乌，而是另一种太阳神鸟。

再说三条腿的蛤蟆，传说里也是有的。“刘海戏金蟾”里的金蟾就是三条腿。不过，金蟾为何三条腿？一说此蟾本就是三条腿，另一种则说腿本四条，刘海降伏牠时，断其一足，故为三足。如从前说，那没脱离进化代数学的范畴。

三足金乌▲

走笔结尾时，刚刚发现中国邮政将在三月十四日，即国际数学日当天，首次发行《数学之美》特种邮票。

不过，事情却掀起了一个不大不小的风波。二月份，邮政部门公布了设计初稿，四枚邮票主题分别是圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带。

其中，第二枚“毕达哥拉斯定理”引发热议。最终，根据公众反馈的意见，该邮票定稿更名为“勾股定理”，同时保留原稿里“毕达哥拉斯定理”的英文标注（Pythagorean theorem），做到了中西合璧，实现了规范学术概念与大众科普需求的双赢。

《数学之美》特种邮票第一枚▲

勾股定理与圆周率，堪称中国人耳熟能详的古代数学成就。按《周髀算经》记载，周代的商高最先发现了“勾三股四弦五”。

但客观来说，发现一个现象，与通过数学方法进行科学证明，是两个概念。正如称象的曹冲，与跳进浴缸的阿基米德，都认识到了浮力，但前者停留在了对表面现象的观察，而后者将其提炼出普遍规律，即浮力定律。一般来说，中国古代科学偏重实践工程应用，西方科学在抽象思维方面要更胜一筹。

古代《周髀算经》▲

古代巴比伦人也记载了三角形三边之间的对应数字。

而希腊的毕达哥拉斯，是有记载的第一个完成此定理数学证明的人。“毕达哥拉斯定理”因此成为国际数学界通行的名称。其实，三国时的赵爽，也用数学方法完成了证明，但比毕氏要晚几百年。

所以，对于“毕达哥拉斯定理”，大可不必“玻璃心”上纲上线到所谓“自我矮化”“崇洋媚外”。而中国邮政采用中英文结合的两便方式，展现了中国文化的主体性，与学术交流的开放性。

《数学之美》特种邮票第二枚▲

勾股定理和毕达哥拉斯定理，是跨越时空的智慧共振。真理如同阳光，既照耀长安城的日晷，也照亮雅典学院的长廊。

《论数学▪七律》——佚名

数学奥秘深如海，应用之途广且宽。

方程巧解民生事，统计详析世态安。

概率能窥机遇隐，几何可绘工程观。

思维缜密精推算，智慧之光耀万端。